第一章分布函数 - 张学文.DOC

第一章分布函数 在研究气象学中的问题时，人们对于动力气象学中的一套思想方法是较为熟悉的。现在我们仍然研究气象学中的种种实际问题，但是思考这些问题的着眼点变了。这种新的思考方法会涉及到一些新的物理概念。我们希望它能引导我们，发现新的气象规律。 这一章我们要对后边反覆用到的“分布函数”概念作一个统一的说明。分布函数的概念是很容易理解又十分有用的。抓住这个概念可以方便地引出很多气象上的新问题，它也是在新框架中作进一步讨论的思维工具。 这一章先从易于理解的实例引出这个概念，进而对它作数学分析，指出它与概率密度分布函数的关系。此后将问题引到气象学中，起到在新思路下提出问题的目的。 §1 实 例 1.1 人口中的年龄构成 人口的年龄构成对于社会学家来说，是一个十分重要的问题。一个国家如果儿童、少年过多，那么教育、就业等一系列环节都会遇到难题。反之，一个国家老年人过多又会遇到另一些难题。所以，一个国家的不同年龄的人各占多少，即人口在年龄上的分配(分布)是了解一个国家状况的重要数据。 描述一个国家(或地区)人口年龄构成的简明方法是给出一张人口数与年龄数的直方柱图。图1．1就是给出的一个例子[1] 。它是经过人口普查，分档统计出处于不同年龄组 (例如以十岁为一个年龄组)各有多少人，进而绘出的一张人口的年龄构成直方图。 年龄 图1．1 人口数量在年龄上的分布 (日本，1975年10月1日，年龄低于90岁部分) 人口在年龄上的这种分布关系，我们称为分布函数。 1.2 颗粒度 为了取暖，很多人家要买煤。煤里有多少大块，有多少煤沫是个重要问题。这可以说成是个颗粒度问题。 煤是用某种手段先从煤矿中把它破碎后才取出来的，大块的，中等的，小的都有。所谓颗粒度也就是不同大小的个体(煤块)在总体中(1吨或100公斤等等)各占了多少。它也是一个分布函数。 表1．1给出了颗粒度分布的一个实例，它分析的不是煤块大小的分布，而是大气中的尘埃的大小的分布[2] 。 表1.1 飞尘微粒直径与其相应的个数 直径 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 个 数 3 11 20 22 29 41 24 25 13 9 5 6 3 显然颗粒度问题涉及众多自然科学领域中的问题。各星系中有众多的恒星，它们有大有小。银河系(或其他)中大小不同的恒星各占多少，这是颗粒度问题。下了一阵冰雹，大小不同的雹粒各占多少，这在气象上称为冰雹谱，而类似的还有雨滴谱、云滴谱，这些也是颗粒度问题。河床中的沙砾、卵石，果园中苹果的大小，甚至一个地域的人体的身高……它们都有一个个体的线径(有时是直径)大小与其在总体中占有个数的多少的关系问题。这两个变量的对应关系就是我们称的分布函数。 1.3 分子速率分布 气体分子一直处于不断的运动状态中。但每个分子的运动速率(速度的绝对值)不仅变化极快，而且各个分子并不相同。人们会问，在一个确定的宏观条件下(如一瓶温度为T的单一成分的气体)不同的时刻具有不同运动速率的分子个数是否保持固定的比例关系?如果是，这个比例关系是什么? 麦克斯韦(J．C．Maxwell对此作出了肯定的回答，他给出的定量关系是 (1．1) 这里m、k、T分别为分子的质量、玻耳兹曼常数和绝对温度，N，v是体系中分子的总个数和分子运动速率 ΔN是运动速率介于v到v+Δv范围内的分子个数。 图1.2 麦克斯韦分子运动速率分布 图1．2就是(1.1)式对应的函数图形。图中横坐标为速度v，纵坐标则是分子的相对数量ΔN /N 。两条线分别对应100°K和200°K。 麦克斯韦把宏观条件下确定的由众多分子组成的集合作为研究对象，得出了分子速率分布律。因此，我们可以把整个地球(或半球、或一区域)大气总体看成由众多空气微团组成的集合，来研究大气体系的风速分布律。 这种问题完全是仿照麦克斯韦的思路，面对大气而提出来的。在后边我们将对它作进一步的讨论。 1.4 黑体辐射 黑色的物体不仅吸收各种波长的光，而且也放射各种波长的光。在确定的温度下，黑体通过不同波长的光所辐射出去的能量并不相同。这就构成了一个能量(实为能量密度)在各个波长上的分布问题。这又是一个重要的分布函数。 普朗克(M．P1anck)借助于光量子的概念从统计物理中导出了黑体辐射能在波长上的分布律，他得出 (1．2) 这里h，c分别为普朗克常数、光速。u是单位面积单位时间从波长为λ±0.5这个波段中发射出来的能量，我们也可以把它说成与黑体发射出来的波长介于λ±0.5区间的光子个数相对应的一个量。 对于确定的温度，u就