先猜后证,探求解析几何中点的存在性问题.pdf

· 辅教导学 · 数学通讯——2O13年第 9期 (上半月) 15 先猜后证 ，探求解析几何中点的存在性问题 黄汉桥 (湖北省襄阳市第一 中学，441000) 解析几何 中点的存在性 问题备受高考和各 故以PQ为直径的圆的方程为 (z一兰)(z一” 级 、各类考试 的喜爱，这类 问题灵活多变 ，对数学 7／ 运算能力要求较高 ，笔者通过 “先猜后证”将 问题 +4m)+ (+ )(44)一0，化简并整理得 ：z2 化繁为简 ，探求解析几何中点的存在性 问题 ，旨在 探索解题方法，总结解题规律 ，激活解题思维 ，下 一 + (4m-- )+ (Y42)+ (42)2=0恒 ，‘ 7l 面 以几道题为例进行说 明． 成立，故X一0，Y一一2，即存在定点M (0，一2)符 例 1 (2013年湖北八校第二次联考第 21题) 合题意． 已知椭 圆C ，抛物线 C。的焦点均在 Y轴上 ，C。的 点评 解析几何中点的恒成立问题一直备受 中心和 C。的顶点均为原点 o，从每条曲线上取两 命题者的青睐，这类 问题充分考查学生灵活运用 个点 ，将其坐标记录于下表中： 知识的能力，具有很好 的区分度，上述解法 中，通 Z O 一 1 4 过 P，Q两个点的坐标直接给出以PQ为直径的圆 一 1 的方程，是否对普通学生要求有点高了?这个技巧 2 16 — 2 1 我认为不属于通性通法 ，而且针对 一个带有两个 (1)求 C ，C2的标准方程 ； 字母 m， 的二元二次方程的恒成立问题 ，对学生 (2)设斜率不为0的动直线z与C 有且只有一 的理解和接受能力是否是一个强大的挑战呢?学 个公共点P，且与 C。的准线相交于点 Q，试探究： 生并不知如何分析多个变量下的恒成立 问题 ，使 在坐标平面内是否存在定点M，使得 以PQ为直径 问题变得更加艰难，鉴于以上考虑，笔者并没有讲 的圆恒过点 M?若存在 ，求出点 M 的坐标 ；若不存 授上述方法 ，下面给出自己的解法 ，目的只是为了 在 ，请说 明理由． 让学生理解 自然 的解法 ，培养分析 问题和解决问 先给出命题者的参考答案． 题的能力 ，如有不当之处，还请批评指正． (1y2+等一1，一16y，过程略； 我们知道 ，当P为椭 圆左顶点时，即P(一2， O)，此时Q(一2，一4)，以PQ为直径的圆的方程为 (2)设直线 PQ 的方程为 ：z— my+ 1l，联立 (+2)+ (+2)一4；当P为椭圆右顶点时，即 rz— my4 ’ P(2，0)此时Q(2，一4)，以PQ为直径的圆的方程 1y2TX2—1消z整理得： 为(z一2)。+ (+2) 一4．在上述两种特殊情形