平面问题极坐标例题I.pptVIP

平面问题的极坐标解答 基本方程 厚壁筒问题 锲形体与半无限平面体 圆孔孔边应力集中 1、基本方程 直角坐标与极坐标的关系 位移分量的关系 平衡微分方程  微元体的取法 应力的正负号 切应力互等 三个几何方程 三个物理方程 应力函数与用应力分量表示的变形协调方程 (不计体力时） 结论 不计体力时，在极坐标中求解平面问题，就是要找到一个应力函数 ，且按它求得的应力分量满足应力边界条件，对多连体，还需满足位移单值条件。 2 厚壁筒问题 应力分量为： 平衡方程只有一个 C1，C2为待定常数，由边界条件确定，为此，先求出应力分量 边界条件 应力分量用直角坐标系表示 4 坝体应力 5 圆孔孔边应力集中 内边界条件为， 将外边界改造成为圆边界，作 则有 利用圆环的轴对称解答，取 且R＞＞r，得应力解答： 2. 带小圆孔的矩形板， x, y向分别受拉压力 ，图(b)。 所以应力集中系数为2。 内边界条件为 最大应力发生在孔边， 作 圆，求出外边界条件为 用半逆解法求得的应力解答为： 在孔边 ， ，最大、最小应力为 ，应力集中系数为 。 3.带小圆孔的矩形板，只受x向均布拉力q。 应用图示叠加原理（此时令 ） 得应力解答: 讨论： （1）孔边应力， 最大应力 3q ，最小应力-q。 （2) y轴 上应力， 可见，距孔边1.5D处 ，由于孔口引起的应力扰动5%。 （3） x 轴 上应力， 同样，距孔边1.5D处 ，由于孔口引起的应力扰动5%。 4.小孔口的应力集中现象 （1）集中性--孔口附近应力远处的应力， 孔口附近应力无孔时的应力。 （2）局部性--应力集中区域很小，约在距孔边 1.5倍孔径（D）范围内。此区域外的应力扰动，一般5%。 （3）凹角的角点应力高度集中，曲率半径愈小，应力愈大。 因此，工程上应尽量避免接近直交的凹角出现。 如正方孔 的角点， 角点曲率半径 5.一般小孔口问题的分析： （1）假设无孔，求出结构在孔心处的 、 、 。 （2）求出孔心处主应力 （3）在远处的均匀应力场 作用下， 求出孔口附近的应力。 为便于工程上的应用，下图为远处为 (压应力场)作用下，椭圆类孔口的应力分布情况。 -4 3/2 b a 1 1 -2.23 1 2/3 -1 1 0 1 -3 1 例题1 试考察应力函数  能解决图中所示弹性体的何种受力问题？ y x a a 0 解：本题应按逆解法求解。 首先校核相容方程， 是满足的。 然后，代入应力公式，求出应力分量： 再求出边界上的面力： 读者可由此画出边界上的面力分布。 半平面体表面受有均布水平力q，试用应力函数 求解应力分量。 例题2 解：首先检验 ，已满足 。由 求应力，代入应力公式得 再考察边界条件。注意本题有两个 面,即 ，分别为 面。在 面上，应力符号以正面正向、负面负向为正。因此，有 代入公式，得应力解答， 设半平面体在直边界上受有集中力偶，单位宽度上的力矩为M，试求应力分量。 例题3 （2）将 代入相容方程，得 （1） 应比应力的长度量纲高2次幂，可假设 。 删去因子 ，得一个关于 的常微分方程。令其解为 ，代入上式，可得到一个关于 的特征方程， 其解为 于是得 的四个解  ；前两项又可以组合为正弦、余弦函数。由此得 本题中结构对称于 的 轴，而 是反对称荷载，因此，应力应反对称于