TV模型在图像修复中的应用的研究报告.DOCVIP

石河子大学 大学生研究训练计划项目研究报告 项目名称：TV模型在图像修复中的应用研究 小组成员：骆晓双 刘园园 李胜男 杨桦林唐金苹 BSCB 模型、TV 模型、CDD 模型等；二、是基于块的纹理合成图像修复算法，它对修复具有较大待修复区域的破损图像，效果较好。我们这个课题主要涉及基于偏微分方程的修复算法中的TV模型。 以偏微分方程(Partial Differential Equation, PDE)为基础的算法非常多，也是最早出现的图像修复模型。Bertalmio等[3]通过采用偏微分的方法模拟职业修复者对图像进行修复，首次提出了基于偏微分方程的图像修复算法，他们主要采用将待修复区域外部的已知信息沿等照度线方向延伸至待修复区域中。这类方法的主要思路是利用物理学中的热传导方程，将待修复区域周围的已知信息沿等照度线方向延伸到待修复区域中，它包括的典型算法有BSCB(Bertalmio-Sapiro-Caselles-Ballester) [3]模型，它是用三阶偏微分方程来模拟平滑传输过程的，还Chan等[4]提出的用三阶PDE来模拟CDD(CurvatureDriven Diffusions)等。在这一类方法中，还有一种叫做基于几何图像模型的变分修复方法，该类方法的主要思想是通过建立图像的先验模型和数据模型，将图像修复问题转换成一个泛函求极值的变分问题。这类方法中比较典型的有整体变分(Total Variation, TV)模型[5] 、Euler’s elastica模型[6] 、Mumford-Shah模型[7]、Mumford-Shah-Euler模型[8]等。整体变分方法最早是由Rudin和Osher提出的，采用了欧拉—拉格朗日方程和各向异性的扩散，应用于图像噪声的去除操作,是Chan和Shen首次将整体变分方法引入到图像修复领域，并且取得了巨大的成功。而曲率驱动扩散(CDD)算法是整体变分(TV)算法的扩展，主要的5改进是在图像信息扩散的过程中同时考虑图像轮廓的几何曲率信息，可以用来修复较大块的破损区域，并且有些情况下可以解决整体变分算法修复图像时的连通性问题。近年来，出现了许多关于整体变分模型的改进算法，其中许威威和潘志庚等[9] 通过先对图像进行前向扩散，然后再用TV模型修复具有较大块破损区域的图像，达到了比用经典TV模型修复更好的效果。郑精灵等[10]在TV模型的基础上通过引入权值，提出了一种适合于修复长条形破损区域的改进整体变分算法。因为，变分法与偏微分方程是可以通过变分原理互相等价推出的,因此,可把这一类方法统称为基于偏微分方程的图像修复算法。 第一章 图像处理的基础知识 一、偏微分方程的基础知识 [偏微分方程及其阶数]一个包含未知函数的偏导数的等式称为偏微分方程。如果等式不止一个，就称为偏微分方程组。出现在方程或方程组中的最高阶偏导数的阶数称为方程或方程组的阶数。 [方程的解与积分曲面]设函数u在区域D内具有方程中所出现的各阶的连续偏导数，如果将u代入方程后，能使它在区域D内成为恒等式，就称u为方程在区域D中的解，或称正规解。 在n+1维空间中是一曲面，称它为方程的积分曲面。 [齐次线性偏微分方程与非齐次线性偏微分方程]对于未知函数和它的各阶偏导数都是线性的方程称为线性偏微分方程。如 就是线性方程。在线性方程中，不含未知函数及其偏导数的项称为自由项，如上式的f(x,y)。若自由项不为零，称方程为非齐次的。若自由项为零，则称方程为齐次的。 [拟线性方程与半线性方程] 如果一个方程，对于未知函数的最高阶偏导数是线性的，称它为拟线性方程。如 就是拟线性方程，在拟线性方程中，由最高阶偏导数所组成的部分称为方程的主部。上面方程的主部为 如果方程的主部的各项系数不含未知函数，就称它为半线性方程。如 就是半线性方程。 [非线性方程] 不是线性也不是拟线性的方程称为非线性方程。如 就是一阶非线性偏微分方程。 [定解条件] 给定一个方程，一般只能描写某种运动的一般规律，还不能确定具体的运动状态，所以把这个方程称为泛定方程。如果附加一些条件（如已知开始运动的情况或在边界上受到外界的约束）后，就能完全确定具体运动状态，称这样的条件为定解条件。表示开始情况的附加条件称为初始条件，表示在边界上受到约束的条件称为边界条件。 [定解问题] 给定了泛定方程（在区域D内）和相应的定解条件的数学物理问题称为定解问题。根据不同定解条件，定解问题分为三类。 1、初值问题 只有初始条件而没有边界条件的定解问题称为初值问题或柯西问题。 2、边值问题 只有边值条件而没有初始条件的定解问题称为边值问题。 3、混合问题 既有边界条件也有初始条件的定解问题称为混合问题（有时也称为边值问题）。 [定解问题的