D4_4函数的单调性和极值.pdf

第四节 函数的单调性与极值 一、函数单调性的判定法 二、曲线的极值与最值 2014/11/20 SCHOOL OF MATHEMATICS 1 一、函数单调性的判定法 定理1. 设函数 在开区间I 内可导, 若 (f ′(x) 0) , 则 在I 内单调递增(递减) . 证: 无妨设 任取 由拉格朗日中值定理得 0 故 这说明 在I 内单调递增. 注：定理对区间并没有特殊限制，可以是开区间，闭区间，无穷区间。 2014/11/20 SCHOOL OF MATHEMATICS 2 例1. 确定函数 的单调区间. ′ 2 f x x − x + 解: ( ) 6 18 12 6(x −1)(x −2) 令 f ′(x) 0 , 得 x 1, x 2 x (−∞, 1) 1 (1, 2) 2 (2 , +∞) f ′(x) + 0 − 0 + f (x) 2 1 y 2 故 的单调增区间为(−∞, 1) , (2 , +∞); 1 的单调减区间为(1, 2). o 1 2 x 2014/11/20 SCHOOL OF MATHEMATICS 3 说明: 1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如, y 3 2 y x o x y 2) 如果函数在某驻点两边导数同号, y x 3 则不改变函数的单调性. 例如, o x 2014/11/20 SCHOOL OF MATHEMATICS 4 例2. 证明 时, 成立不等式