压缩感知理论综述原创.docVIP

压缩感知理论综述 摘要：信号采样是模拟的物理世界通向数字的信息世界之必备手段。多年来，指导信号采样的理论基础一直是的Nyquist采样定理（Compressed Sensing）Nyquist采样速率采样信号。本文详述了压缩感知的基本理论，着重介绍了信号稀疏变换、观测矩阵设计和重构算法三个方面的必威体育精装版进展，并介绍了压缩感知的应用及仿真，举例说明基于压缩感知理论的编解码理论在一维信号、二维图像处理上的应用。 一、引言 Nyquist采样定指出，采样速率达到信号带宽的两倍以上时，才能由采样信号精确重建原始信号。可见，带宽是Nyquist采样定理对采样的本质要求。压力常见的是信号压缩。但是，信号压缩实际上是一种资源浪费，因为大量的不重要的或者只是冗余信息在压缩过程中被丢弃。从这个意义而言，我们得到以下结论：带宽不能本质地表达信号的信息，基于信号带宽的Nyquist采样机制是冗余的或者说是非信息的。 Nyquist采样定理要求的速率采样信号，同时又可以完全恢复信号。与信号带宽相比，稀疏性能够直观地而且相对本质地表达信号的信息。事实上，稀疏性在现代信号处理领域起着至关重要的作用近年来基于信号稀疏性提出一种称为压缩感知或压缩采样的新兴采样理论，成功实现了信号的同时采样与压缩。 简单地说，压缩感知理论指出：在该理论框架下，采样速率不再取决于信号的带宽，而在很大程度上取决于两个基本准则：稀疏性和非相干性，或者稀疏性和等距约束性。Kashin创立的范函分析和逼近论，最近由Candes，Romberg,Tao和Donoho等人构造了具体的算法并且通过研究表明了这一理论的巨大应用前景。目前国内已经有科研单位的学者对其展开研究。如西安电子科技大学课题组基于该理论提出采用超低速率采样检测超宽带回波信号。 显然，在压缩感知理论中，图像/信号的采样和压缩同时以低速率进行，使传感器的采样和计算成本大大降低，而信号的恢复过程是一个优化计算的过程．因此，该理论指出了将模拟信号直接采样压缩为数字形式的有效途径。从理论上讲任何信号都具有可压缩性，只要能找到其相应的稀疏表示空间，就可以有效地进行压缩采样。 当前，压缩感知理论主要涉及三个核心问题：　　(1) 具有稀疏表示能力的过完备字典设计；　　(2) 满足非相干性或等距约束性准则的测量矩阵设计；　　(3) 快速鲁棒的信号重建算法设计。 目前，学者们已经在模拟-信息采样、合成孔径雷达成像、遥感成像、核磁共振成像、深空探测成像、无线传感器网络、信源编码、人脸识别、语音识别、探地雷达成像等诸多领域对压缩感知展开了广泛的应用研究。Rice大学已经成功设计出了一种基于压缩感知的新型单像素相机，在实践中为取代传统相机迈出了实质性的一步。 本文围绕稀疏字典设计、测量矩阵设计、重建算法设计三个核心问题，本文结构安排如下：第2 部分阐述了压缩感知的理论；第3 部分系统介绍了压缩感知的三个核心，即、矩阵、算法；第4 部分指出压缩感知有待解决的若干关键问题；第5 部分对全文作了总结。 图1 传统编解码理论的框图 压缩感知理论对信号的采样、压缩编码发生在同一个步骤，利用信号的稀疏性，以远低于Nyquist采样率的速率对信号进行非自适应的测量编码。测量值并非信号本身，而是从高维到低维的投影值，从数学角度看，每个测量值是传统理论下的每个样本信号的组合函数，即一个测量值已经包含了所有样本信号的少量信息。解码过程不是编码的简单逆过程，而是在盲源分离中的求逆思想下。利用信号稀疏分解中已有的重构方法在概率意义上实现信号的精确重构或者一定误差下的近似重构。解码所需测量值的数目远小于传统理论下的样本数。 图2 压缩感知理论的编解码框图 压缩感知的基本理论及核心问题 假设有一信号，长度为，基向量为，对信号进行变换： 显然是信号在时域的表示，是信号在域的表示。信号是否具有稀疏性或者近似稀疏性是运用压缩感知理论的关键问题，若(1)式中的只有个是非零值者仅经排序后按指数级衰减并趋近于零，可认为信号是稀疏的。信号的可稀疏表示是压缩感知的先验条件。在已知信号是可压缩的前提下，压缩感知过程可分为两步： 设计一个与变换基不相关的维测量矩阵对信号进行观测，得到维的测量向量。 由维的测量向量重构信号。 3.1信号的稀疏表示 文献给出稀疏的数学定义：信号在正交基下的变换系数向量为，假如对于和，这些系数满足： 则说明系数向量在某种意义下是稀疏的．文献[1]给出另一种定义：如果变换系数的支撑域的势小于等于，则可以说信号是项稀疏。如何找到信号最佳的稀疏域?这是压缩感知理论应用的基础和前提，只有选择合适的基表示信号才能保证信号的稀疏度，从而保证信号的恢复精度。在研究信号的稀疏表示时，可以通过变换系数衰减速度来衡量变换基的稀疏表示能力。Candes和Tao研究表明