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2014年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试卷分析 Ⅰ.试卷结构分析 2014年全国硕士研究生入学统一考试数学三试卷严格按照2014年《考试大纲》规定的考试内容、试卷结构和题型结构命制，保持了应有的稳定性和连续性，较为准确的把握了试卷的整体难度，具有较为理想的区分度、信度和效度.具体到微积分、线性代数和概率论与数理统计各科目所考查的知识点详见下表. 表 2014年数学三试卷所考查的内容 考点 科目 选择题 考查的知识点 填空题 考查的知识点 解答题 考查的知识点 微积分 （1）极限的保号性 （2）渐近线 （3）无穷小的比较）不等式）二维离散型 Ⅱ.试题分析 一、选择题: 1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目 要求的. （1）设则当充分大时有（ ） （A） （B） （C） (D) 答：（A）. 考点解析：本题考查极限的保号性，考查基本性质，是基本问题. 解：因为， 所以对，存在正整数，当时，有，即， 从而. 取，则知，所以选择（A）. （2）下列曲线中有渐近线的是 （A）. （B）. （C）. （D）. 答：（C）. 考点解析：本题主要考查曲线的渐近线，是基本问题，比较简单，需要考生对相关知识点要识记准确. 解：对于，可知，，所以有斜渐近线，，则当时，若是比高阶的无穷小，则下列选项中错误的是 （A）. （B）. （C）. （D）. 答：（D）. 考点解析：本题考查无穷小比较的概念和常用函数的麦克劳林公式，考查基本原理和方法. 解：因为当时，，显然，故应选（D）. 典型错误：直接根据概念利用罗必塔法则求极限导致计算繁琐而出错. （4）设函数具有2阶导数，，则在上 （A）当时，. （B）当时，. （C）当时，. （D）当时，. 答：（D）. 考点解析：此题考查不等式的证明.涉及到利用曲线的凹凸性或函数的最值证明不等式的方法. 解法1: 如果对区间上任意两点及常数，恒有 ， 则曲线是上凹的． 令，则，而 ， 故当时，曲线是上凹的，即， 也就是，应选（D）. 解法2:令，则， 且，故当时，曲线是上凹的， 从而在端点处取最大值，而，故，应该选（D）. 典型错误：这类题型选项相似，迷惑性大，解答时容易思路混乱而导致错选. （5）行列式等于 （A）. （B）. （C）. （D）. 答：（B）. 考点解析：本题考查行列式的性质与计算，是基本题型. 解法1：用行列式的性质与公式计算行列式： 解法2：用行列式的性质与按一行(列)展开定理计算行列式： 解法3：用行列式的性质与拉普拉斯定理计算行列式： 典型错误：本题大部分同学都能做上，有的考生在交换行列式的行或列时，忘记了改变符号，从而导致错误的选择. （6）设 是三维向量，则对任意的常数，向量，线性无关是向量线性无关的 （A）必要而非充分条件. （B）充分而非必要条件. （C）充分必要条件. （D） 非充分非必要条件. 答：（A）. 考点解析：本题考查向量组线性相关性的概念和充分必要条件的理解.所涉及的知识点是：若只有λ1=λ2=…=λm=0时，λ1α1+λ2α2+…+λmαm=0，则向量组α1，α2，…，αm线性无关. 解法1：已知α1，α2，α3线性无关，设λ1(α1+kα3)+λ2(α2+lα3)=0，即 λ1α1+λ2α2+(kλ1+lλ2)α3=0(λ1=λ2=kλ1+lλ2=0，从而α1+kα3，α2+ lα3线性无关.反之若α1+kα3，α2+ lα3线性无关，不一定有α1，α2，α3线性无关.例如 ， 显然，α1+kα3，α2+ lα3线性无关，而α1，α2，α3线性相关.故α1+kα3，α2+ lα3线性无关是α1，α2，α3线性无关的必要条件，而不是充分条件.因此选(A). 解法2：若向量线性无关，则 （，）， 对任意的常数，矩阵的秩都等于2，所以向量，一定线性无关． 而当时，对任意的常数， 向量，线性无关，但线性相关，故选择（A）． 典型错误：部分考生对充分必要条件理解不清，从而选择错误.但大部分考生能做出正确的选择. （7）设事件A，B相互独立，则 （A）0.1. （B）0.2. （C）0.3 . （D）0.4. 答：（B）. 考点解析：此题考查事件的关系和运算，考查的是基本计算公式. 解：，，而，为来自正态总体的简单随机样本，则统计量服从的分布为 （A） （B） （C） （D） 答：（C