数值分析（陈延梅）5常微分方程数值解法缩.pptVIP

步长的选取:稳定性与步长有关，步长的选取一定要保证方法是稳定的，即?h属于稳定区间. 收敛性是反映递推公式本身的整体截断误差对计算结果的影响；稳定性反映某一计算步骤中出现的误差对计算结果的影。 §6.5 预测-校正方法 线性多步法(6.2.1)当b-1?0时，是隐格式 估计出yn+1的一个初值y(0)n+1，利用迭代 y(j)n+1是yn+1的第j次近似值. 当??hb-1?1时，此迭代收敛. 用显式方法来作预测值y(0)n+1 ，用隐式方法迭代校正一次得y(1)n+1值，这种显式与隐式联合使用构成的方法称为预报-校正法.作为预报的显式公式称为预测式，用于校正的隐式公式称为校正式. 例如，改进的Euler方法. 预测公式与校正公式选取同阶方法，可使截断误差用预测值和校正值表示，再用截断误差来修正，得到提高精度的方法. 4阶显式Adams方法 局部截断误差为 4阶隐式Adams方法 局部截断误差为 4阶Adams预报-校正方法 称为4阶Adams预报-校正格式(PECE模式). 构造4阶Adams修正预测-校正格式 称为PMECME模式. 4阶Milne方法 4阶Hamming方法 4阶Milne- Hamming预报-校正方法 称为4阶Milne- Hamming预测-校正方法格式(PECE模式). 构造修正4阶Milne- Hamming预测-校正格式 称为PMECME模式. (2) C4= (a1-1)/24, C5=- (a1+1)/180, 当a1 ? 1时, C3=0, C4?0，是3阶方法； 当a1=1时, C4=0, C5?0，是4阶方法，公式 达到最高阶的方法，其具体形式为 称为Simpson方法. 类似地可导出4阶方法 4阶Milne方法 4阶Hamming方法 形如(6.2.1)的线性多步法都可以用Taylor展开法构造出来，有些也可用数值积分得到. 基于数值积分的构造方法 在[xn,xn+1]上对y?(x)=f(x,y(x))积分得 用插值多项式逼近f(x,y(x))进行数值积分可建 立一类多步法-Adams 方法. 显式Adams方法 过点(xn-i ,fn-i), i=0,1,?,p构造f(x,y(x))的p次插值 多项式Np (x),在[xn,xn+1]上用Np (x)代替f(x,y(x))作 积分，令yp-i =y(xp-i)得离散格式 当f(x,y(x))?Mp时，此方法是准确成立的，故当 y(x)?Mp+1时，此方法是准确成立的，从而它是 显式p+1步p+1阶方法. 当p=3时，得到显式4步4阶Adams方法 局部截断误差为 隐式Adams方法 过点(xn-i ,fn-i), i=-1,0,1,?,p构造f(x,y(x))的p+1次插 值多项式Np+1 (x),在[xn,xn+1]上用Np+1 (x)代替 f(x,y(x))作积分，令yp-i =y(xp-i)得离散格式 当f(x,y(x))?Mp+1时，此方法是准确成立的，故 当y(x)?Mp+2时，此方法是准确成立的，从而它 是隐式p+1步p+2阶方法. 当p=0时，得到梯形法 当p=2时，得到隐式3步4阶Adams方法 局部截断误差为 基于导数近似的构造方法（略） 多步法与单步法比较，其好处是达到同样的精确度，计算f的次数要少得多.事实上单用一个显式多步法，每前进一步只需增算一次函数值f，复杂之处是还需求初始值. 线性多步法如何开表头 Taylor展开法；单步法（如RK法） §6.3 线性多步法的收敛性 多步法的收敛性 定义 设解差分方程(6.2.1)的初始条件 yk= yk(h),k=0,1,?,p满足 (6.3.1) 对于f(x, y)满足解的存在唯一性条件的初值问题 (6.1.1)，如果差分方程 (6.2.1)的解对每个确定的 x?[a,b]满足 (6.3.2) 则称多步法(6.2.1)是收敛的. 记 分别称为(6.2.1)的第一、第二特征多项式. 定义 若第一特征多项式?(r)的所有零点的模均不大于1，且模为1的零点是单零点，则称?(r)及相应的线性多步法(6.2