计算机视觉中的多视图几何第二章三维射影几何与变换.pptVIP

3D射影几何和变换;点与直线;点的齐次表示;理想点与无穷远线;理想点与无穷远点; 点和射影变换 2D射影几何中点的非齐次表示(X,Y)，齐次表示(X,Y,1).ax+by+c=0,矢量(a,b,c). 3D射影几何中点X用齐次表示时需要一个4维矢量，齐次矢量X=(x1,x2,x3,x4),对应非齐次坐标(X,Y,Z),当X=x1/x4, Y=x2/x4, Z=x3/x4。在x4=0时，齐次点X表示无穷远点。;平面、直线和二次曲面的表示和变换 直线公式：ax+by+c=0,矢量(a,b,c). 平面公式：π1X+π2Y+π3Z+π4=0,矢量(π1,π2,π3,π4)’. 齐次化, X=x1/x4, Y=x2/x4, Z=x3/x4. 得到π1x1+π2x2+π3x3+π4x4=0 或简记为π’X=0.表示点X在π上. ;联合与关联关系 (1)平面可由一般位置的三个点或一条直线与一个点的联合来唯一确定 (2)两张不同的平面交于唯一的直线 (3)三张不同的平面相较于一点; 三点确定一张平面 (1)设三点Xi在平面π上,那么每点满足π’X=0 x1’ π1’ x2’ π=0 π2’ x=0 x3’ π3’ 因为一般位置，所以它们线性无关 (2)矩阵M=[X,X1,X2,X3],它由一般位置的点X和确定平面π的三点Xi组成.当X在π上时，IMI=0 因为三点确定一个平面，再多一点，肯定可以用X1,X2,X3线性表示，所以不是满秩的。 IMI=X1D234-X2D134+X3D124-X4D123 π=(D234,D134,D124,D123)是(1)的解矢量,零空间 ;射影变换 在点变换X’=HX下，平面变换为π‘=H’‘‘π 平面上的点的参数表示 在平面π上的点X可以写成X=Mx 其中M是4*3矩阵，设平面π=(a,b,c,d)’ 且a非零，那么M’可以写成M‘=[PII3*3]，其中p=(-b/a,-c/a,-d/a)’;直线的表示 两点的连线或两平面的相交定义一条直线，每个交点由两个参数确定，两个交点有四个参数，故有四个自由度.问题，4个自由度得5个变量表示。 (1)零空间与生成子空间表示;(2)Plucker矩阵 将一条直线由4*4的反对称齐次矩阵表示，连接两点A,B的直线L的矢量表示：L=AB’-BA’ L有若干如下性质： 1、L的秩为2 2、该表示具有描述一条直线所需要的4个自由度，6-2 3、矩阵L与用来确定它的点A,B无关,C=A+aB代替时,那么得到的矩阵是 L’’=AC’-CA’=A(A’+aB’)-(A+aB)A’= AB’-BA’=L; 设A,B分别是原点和X-方向的理想点 L=(0,0,0,1)’(1,0,0,0)-(1,0,0,0)’(0,0,0,1) =4行4列的矩阵反对称矩阵，左下角1 由两平面P,Q的交线确定的直线的对偶Plucker表示为L*=PQ’-QP’并与L有相似的性质。在点变换下，L*’=H‘’‘L*H’‘,矩阵L*可由L通过简单的重写规则得到： l12:l13:l14:l23:l42:l34=l*34:l*42:l*23:l*14:l*13:l*12 对偶的原则是1234的集合;Plucker直线坐标 (1)是Plucker反对乘矩阵的六个非零元素的集合，即l={l12,l13,l14,l23,l42,l34} l的行列式值为0，故有l12*l34+l13*l42+l14*l23=0 (2)假定两条直线l1和l2分别由连接A,B和连接A1，B1所产生的，这些直线相交的充要条件是四点共面，所以行列式值为零,即IA,B,A1,B1I=0.; 二次曲面与对偶二次曲面 X’QX=0，X是点，Q是4*4的对称矩阵。 二次曲面的分类 二次曲面的矩阵Q是对称的，它可以分解为 Q=U’DU,U是正交矩阵，D是实对角矩阵，通过 对U的缩放，可以得到Q=H’DH,则D等价于矩阵 H进行了射影变换。令对角矩阵符号差∮(D),定义 为D中+1与-1个数的差值。如表 ; 秩 ∮ 对角线 方程 实现 4