2013中考数学十大解题思路之换元法346.docVIP

中学数学中换元法的应用与常见错误分析 目录 第一章 引言 ……………………………………………………… 4 第二章在因式分解中的应用……………………………………… 4 第三章在化简二次根式中的应用………………………………… 5 3.1设元代数，化已知为未知………………………………………………… 5 3.2设元代式，无理变有理…………………………………………………… 5 第四章在解方程中的应用………………………………………… 6 4.1分式方程…………………………………………………………………… 6 4.2一元二次方程……………………………………………………………… 7 4.3三角有理方程…………………………………………………… 7 第五章在证明不等式中的应用…………………………………… 8 5.1三角换元法……………………………………………………… 8 5.2改变换元后中间变量的范围……………………………………… 9 第六章换元法常见错误分析……………………………………… 9 6.1将复合函数与原函数混为一谈…………………………………………… 9 6.2改变换元后中间变量的范围……………………………………………… 10 6.3换元的选择不恰当………………………………………………………… 11 结论…………………………………………………………………………… 12 参考文献…………………………………………………………… 12 第一章 引言 换元法是中学数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变量来代替原式的一部分或改造原来的式子，使其简化，问题便于解决。 之所以说换元法重要，是因为换元思想是中学教学中要求掌握并熟练应用的。在中考、高考的试卷也常出现运用换元法的试题。 之所以说换元法应用广泛，是因为在因式分解、化简二次根式、解方程、证明不等式等许多题型中都会运用到换元的思想。 同时，由于学生概念不清，在换元过程中往往会出现这样那样的错误，因此需要对常见错误进行分析，防止犯错。 本文探讨了换元法运用的最为常见也是最为重要的几个问题，还指出了换元法运用中的常见错误以及如何解决这些错误的方法。 第二章换元法在因式分解中的应用 因式分解是初中代数课中一种重要的恒等变形，它是分式通分、约分、解方程以及三角函数的基础。学好因式分解，对以后数学的学习有着非常重要的意义。 除教材上介绍的因式分解的方法外，换元法也是一种比较常用的方法。 例1.分解因式： （济南市 2007） 分析：如果将原式变形，就会得到一个二次多项式，不利于因式分解。换个角度考虑，可以将看成一个整体，则原式就变成这个整体为未知量的二次多项式。 解：设 原式 例2.分解因式： 分析：本题如果展开，就会出现四次多项式，不利于因式分解。因此可以尝试用换元法进行因式分解。观察原式中各个局部之间的简单运算关系，有： ，将其中两部分设为辅助元，则可以表示出第三部分。 解：设，,则。 原式 使用换元法的关键是选择辅助元。在选择辅助元时，要反复比较式子中重复出现的整体结构，以便寻找最恰当的辅助元。 第三章换元法在化简二次根式中的应用 在化简二次根式的过程中，常常会因为根式下的式子过于复杂而无从下手，这时可以考虑通过换元将复杂的式子简单化，从而有助于二次根式的化简，下面介绍两种应用换元法化简二次根式的方法。 3.1设元代数，化已知为未知 例3.若，求的值 分析：是一个较大、带根号的无理数，直接代入较复杂，因此可以尝试用字母换元代入。 解：设，则，，且 原式 3.2设元代式，无理变有理 例4. 化简（陕西省 2008） 分析：本题中的式子较复杂，可以利用换元，将无理式转化为有理式，便于计算。 解：设，， 原式 解题时，根据需要，把较大的数字或复杂的式子用字母代换，这样会使得式子中的各种关系更加明朗，化简或计算也会更加简便。 第四章换元法在解方程中的应用 除了课本中介绍的解方程的基本方法以外，换元法也是解方程的一种常用的方法。如果方程的左端是一个复合函数：，，而方程和是比较简单的方程，则可进行换元。令，这样方程就转化为，方便运算。但值得注意的是，换元后的方程定义域发生了变化，应考虑增根或失根的可能。下面就列举三种常见的用换元法可解的方程类型及换元方法。 4.1分式方程 形如 令，原方程化为，即 解得，原方程化为两个简单方程，，注意检验根。 例5.解方程 分析：此分式方程左边的两个分式互为倒数，可采用换元法来解。 解：设，则，原方程化为 解得， 当时，有，即，解得 当时，有