数学竞赛专题讲座-组合数学.pptVIP

数学竞赛 专题讲座 数学竞赛中 的组合问题 （一）主要类型 1、组合计数问题 包括有限集合元素的计算、相应子集的计算、集合分拆方法数的计算等，表现为数值计算、组合恒等式或组合不等式的证明．知识基础是加法原理、乘法原理和排列组合公式；常用的方法有：代数恒等变形、二项式定理、数学归纳法、递推、组合分析、容斥原理等． （一）主要类型 1、组合计数问题包括： ①问题类型： 主要有：有限集合元素的计算、子集的计算、集合分拆的计算 ②解题方法： 主要有：代数恒等变形、二项式定理、组合等式、递推、组合分析、容斥原理、数学归纳法。 （一）主要类型 2、组合设计问题 其基本含义是，对有限集合，按照性质来作出安排，有时，只是证实具有性质的安排是否存在、或者验证作出的安排是否具有性质（称为存在性问题，又可分为肯定型、否定型和探究型）；有时，则需把具体安排（或具体性质）找出来（称为构造型问题）；进一步，还要找出较好的安排（称为最优化问题）． （一）主要类型 2、组合设计问题：对集合A，按照某种性质P来作出安排，包括 ①问题类型 主要有：存在性问题，构造性问题，最优化问题． ②解题方法： 主要有：构造法、反证法、抽屉原理、染色方法、 递推方法 （二） 发展特点 以组合计数、组合设计为基础，与数论、几何交叉，形成组合数论、组合几何、集合分拆三大热点 ，突出而鲜明的体现数学竞赛的“问题解决”特征．这三方面之所以成为热点，从思维方式、解题技巧上分析，是因为其更适宜数学尖子的脱颖而出，且常与现代数学思想相联系；从技术层面上分析，还由于都能方便提供挑战中学生的新颖题目． 有７个定义、9个定理： 定义１ 从n个不同的元素中取出m个，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列． 相异元素排列数的计算公式为： ． 定义２ 从n个不同的元素中取出m个，并成一组，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个组合． 相异元素组合数的计算公式为： 定理１ （加法原理） 定理2 （乘法原理） 定理3 组合恒等式 (1) (2) (3) (4) 定理4 （二项式定理） 定义３ 从n个不同的元素中取出m个，按照一定的顺序排在一个封闭曲线上，叫做环形排列（或循环排列、圆排列）． 相异元素的 圆排列数公式为： 定义４ 从n个不同的元素中，允许重复取出m个元素，按照一定的顺序排成一列，称为n个相异元素允许重复的m元排列． 相异元素的可重复排列数计算公式为： 定义５ 从n个不同的元素中，允许重复取出m个元素，不管怎样的顺序并成一组，称为n个相异元素允许重复的m元组合． 相异元素的可重复组合数计算公式为： 定义６ 若n个元素中，有n1个a1， n2个a2．．． ｎｍ个aｍ，且　　　　　　　　，则这ｎ个元素的 全排列，称为不尽相异元素的全排列． 不尽相异元素的全排列公式为： 定义７ 如果Ａ是一个ｎ元有限集合，那么，它 的子集　　　　　组成的集合 叫做的一个子集系． 定理5 ｎ元集合Ａ中含有　　　　　个元素的子集有　　个；集合Ａ的所有子集共有　　个． 定理6 （抽屉原理） （1）把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。 （2）把多于mn+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于m+1的物体。 （3）把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。 举例说明抽屉原理 例1? 幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，那么不管怎样挑选，在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同，试说明道理. 解 从三种玩具中挑选两件，搭配方式只能是下面六种： （兔、兔），（兔、熊猫），（兔、长颈鹿），（熊猫、熊猫），（熊猫、长颈鹿），（长颈鹿、长颈鹿） 把每种搭配方式看作一个抽屉，把7个小朋友看作物体，那么根据原则1，至少有两个物体要放进同一个抽屉里，也就是说，至少两人挑选玩具采用同一搭配方式，选的玩具相同. 举例说明抽屉原理 例2正方体各面上涂上红色或蓝色的油漆（每面只涂一种色），证明正方体一定有三个面颜色相同. 证明：把两种颜色当作两个抽屉，把正方体六个面当作物体，那么6=2×2+2，根据原则二，至少有三个面涂上相同的颜色. 举例说明抽屉原理 例3 从自然数1，2，3，…99，100这100个数中随意取出51个数来，求证：其中一定有两个数，，它们中的一个是另一个的倍数. 解设第一个抽屉里放进数：1，1×2，1×22，1×23，1×24，1×25，1×26； 第二个抽屉时放进数：