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五、弯曲变形（Bending deformation） 1. 挠度与转角 * 梁平面弯曲 挠度(deflection)——横截面形心（轴上点）的横向 线位移 w 转角 (angle of rotation) 横截面形心的纵向线位移 ——横截面相对原位置的角位移? ——小量，可略去 ? ? A y x B F w 位移随截面位置的变化 挠度方程 挠曲线 挠度与转角的关系 ——梁小变形由挠度确定 转角方程 思考：w、? 的正负与梁的变形关系 2. 挠曲线微分方程及其积分 基于前面梁平面弯曲的假设：线弹性、大跨高比、 不计剪力影响等 M决定?的正负 曲率 几何描述 挠曲线微分方程 o y x M0 ?0 w0 M M o y x M0 ?0 w0 M M 积分 支座约束条件： 小变形假设 挠曲线近似微分方程 转角 挠度 悬臂梁 —— 固定端 A 铰支 A A 悬臂梁，长L，惯性矩I，弹性模量E，受力F。 试求挠度与转角方程。 A B F y x 解： 挠曲线微分方程 积分得 例5-1. 弯矩方程 边界条件 挠度 转角 最大值 荷载不连续（如集中力作用）时，弯矩为分段函数 挠曲线微分方程多个不同形式 多组积分常数 ——需利用连续性条件 为便于确定分积分常数，保留弯矩方程中共同部分的一致形式 等直梁 弯曲刚度 思考：弹性支座的约束条件 EIz 简支梁，长L，弯曲刚度EI，受力F，AC＝a，BC＝b。试求挠度与转角方程。 F A B C x y 解： 弯矩方程： 例5-2. 反力 挠曲线微分方程 积分得 连续性条件 边界条件 挠度与转角 思考：P175－ 5-1, 2, 3 练习：P177－ 习题5-3, 8, 10 最大值: 中点 ，两端 时， 中点偏右 ，右端 时， 3. 叠加原理 梁承受多个荷载时，截面法的平衡关系确定弯矩 小变形 弯矩与各外力成线性关系 挠曲线微分方程确定挠度与转角 线弹性、小变形 挠度、转角与弯矩成线性关系 挠度、转角与各外力成线性关系 挠度与转角等于各外力单独作用结果之和 叠加原理 静定梁在简单荷载作用下的变形——附录Ⅳ 简支梁，受两个横向力F，AD＝DC＝CE= EB＝a， 弯曲刚度EI。试求中点C的挠度。 结构变形对称 弯矩与力成比例，可分成各力单独作用结果之和。 弯矩： 反力 例5-3. F A B E F D C 解： 方程： 挠度与弯矩，从而与力成比例，也可分成各力 单独作用结果之和。 注意：EI变化时又将如何？挠度公式中F、EI、L 的对应关系 解： 均布力作用： q F A B C 集中力作用： 例5-4. 外伸梁，BC＝2AB＝L，刚度EI，受力F＝ qL， 均布力q。试求截面A的挠度与转角。 1 2 悬臂梁 AB受 F ＋简支梁 BC受 叠加法： 叠加： 4. 梁的刚度条件、提到刚度的措施 （1）刚度条件 保证梁的正常工作 —— 限制变形 刚度条件 许可挠度与跨度之比 许可转角 刚度计算的问题：校核、选择截面尺寸、确定许用荷载 安全有效——同时考虑强度（正应力与切应力）+刚度 （2）提高刚度的措施 积分得w、? 提高弯曲刚度——选用高弹性模量材料 使截面积远离中性轴 缩短跨长——移动或增设支座 思考：一般情况下三个安全性条件严格程度的关系 5. 梁弯曲时的应变能 外力与外力偶作功转化为应变能 小变形、线弹性 ? 只在? 上、? 只在? 上作功 单元体的应变能 x o Δy Δx z τ τ Δz ? ? o ? (τ) ? (γ) 功 应变能密度 弯曲应变密度 剪切应变能密度 梁的弯曲应变能 E、Iz、M为常数时， E、Iz、M分段为常数时， E、Iz、M为分段函数时， 梁的剪切应变能 一般情况下梁的弯曲应变能比剪切应变能大得多 思考：计算应变能的叠加法 比较矩形截面悬臂梁自由端承受横向外力时的 弯曲应变能与剪切应变能 悬臂梁，长L，弯曲刚度EI，受力F。 试求弯曲应变能与自由端挠度。 A B F x 解： 应变能 功能关系 挠度 例5-5. 弯矩