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《高等几何》（第二版）自学指导Ⅱ 目 录 ·第七章 二次曲线的仿射性质 ·第八章 二次曲线的度量性质 第七章 二次曲线的仿射性质 本章主要内容如下（所讨论的二次曲线非退化）： 一、中心 1、定义：中心为无穷远直线的极点 2、存在性：椭圆、双曲线有唯一中心，抛物线以无穷远点为中心 3、性质：平分过中心的弦 4、方程：中心是方程组 a 11 x+a 12 y+a 13=0 的解 a 12 x+a22 y+a 23=0 二、直径与共轭直径 1、定义 （1）无穷远点的极线（非无穷远线）称为直径 （2）如何两直径之一的极点在另一直径上，则此两直径称为共轭直径。 2、存在性 （1）二次曲线有无穷多条直径 （2）有心二次曲线有共轭直径，无心二次曲线无共轭直径 3、性质 （1）有心二次曲线的直径过中心，无心二次曲线的直径彼此平行 （2）共轭直径平分与另一条直径平行的弦；平行于过另一端点的切线。 4、求法：按照定义 三、渐近线 1、定义：以Γ与l∞的交点为切点的Γ的切线 2、存在性：双曲线有两条实渐近线，椭圆有两条虚渐近线，抛物线以无穷远线为渐近线。 3、性质：渐近线过中心，且调和分割任一对共轭直径 4、求法： （1）见EX72 （2）按照定义求 四、仿射分类 虚椭圆 A33 ≠0 椭圆 A33 ＞0 有心二次曲线 二次曲线 双曲线A33 ＜0 A33 =0 抛物线；无心二次曲线 例1 判断二阶曲线的类型，试求曲线的中心，并求出过点（0，1，1）的直径及其共轭直径。 解 ，。 因为|A|≠0,A330，所以方程表示双曲线，中心为（1，1，－1） 设过点（0，1，1）的直径为 ，于是得 所求直径为： 设所求共轭直径为 则 故共轭直径为： 例2 求平分二次曲线与直线平行的弦的直径的方程。 解 与直线平行的弦上的无穷远点为P∞（1，－2，0），所求直径为P∞关于曲线的极线，即 例3 求双曲线的渐进线方程。 解 方法一 设渐近线的方程为 于是有 －3k2+2k+1=0 解得 k1=1，k2=－1/3 所以渐近线方程为 和 化简得 方法二 A31=1，A32=3，A33=－4 所以中心为（－1/4，－3/4），带入渐近线方程 分解因式 化简求得两渐进线方程为 和 第八章 二次曲线的度量性质 本章主要内容如下： 一、基本概念 1、圆点：在直角坐标系下，无穷远线上一对共轭虚点I（1，i, 0）和 J（1，-i，0）。 2、迷向直线：通过圆点的虚直线：y=ix+b,y=-ix+c,它具性质： （1）平行性：迷向直线是两束平行的虚直线 （2）极小性：迷向直线上任意两个非圆点的距离为0 （3）迷向性：迷向直线与其它直线的交角不定 3、拉格尔定理： （1）ɑ=㏑D，其中ɑ=∠(l1,l2),D=(IJ,P∞Q∞), P∞=l1×l∞,Q∞=l2×l∞ （2）意义：将“交比”同“角度”有机地联系起来，为用射影几何观点研究欧氏几何开辟了道路。 二、度量性质 1、主轴和顶点 （1）定义：垂直于它所平分的弦的直径，称为主轴；主轴与二次曲线的普通交点称为顶点。 （2）存在性： ①椭圆、双曲线：有两条主轴，四个顶点 ②抛物线：有一条主轴，一个顶点 ③圆：任何直径均为圆的主轴，圆上任何点都是顶点 （3）性质：双曲线的两条主轴平分渐近线所成的角 （4）方程：椭圆、双曲线的主轴方程为： a11 a12 a13 x （1,k,0） a12 a22 a13 a23 a 2、焦点和准线 （1）定义：四条迷向切线的有限交点称为焦点，焦点的极线称为准线。 （2）存在性： ①椭圆、双曲线：有四个焦点，四条准线（两虚两实） ②抛物线：有一个焦点，一条准线 ③圆：有一个焦点（圆点），一条准线（l∞） （3）性质 ①过焦点的两条共轭直径互垂 ②二次曲线的任意一条切线与两条定切线的交点在焦点处张成定角 （4）求法：先求曲线的迷向切线，再求它们的交点（交点是焦点）。焦点的极线就是准线 例1 证明圆的任何一对共轭直径都互相垂直。 证明 如上图 已知是圆的一对共轭直径，与交于P，Q，I，J为圆点，根据渐近线的性质，知 根据拉盖尔定理的推论可知： 例2：证明：在一平面上垂直于同一直线的二直线互相平行。 证明 设一平面上直线，直线上的无穷远点顺次为 因为，所以 因为，所以 所以 因此重合为一点，即二直线有公共的无穷远点，即 例3 试求二次曲线的主轴方程.