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古代河图的线性方程组解法 我国古代的《河图》是由3×3的方格构成，每个方格均有数目不同的点图，每一行、 每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等。可惜古人只是给出了答案，并没 有给出解题的过程。（见图 1） 图1 我们不妨以古代的河图命题，演算出解题过程。命题：在已知下图的九个方格填入1、2、 3、4、5、6、7、8、9九个数 （不可重复），使得每一行、每一列以及每条对角线上的三个 数之和均相等，求每个空应填入的数值，写出解题过程。 A B C D E F G H I 图2  解：设填入数为A、B、C、D、E、F、G、H、I (1，2，3，4，5，6，7，8，9，),列方程 A+B+C=D+E+F=G+H+I=A+D+G=B+E+H=C+F+I=A+E+I=C+E+G ① 又由于A+B+C+D+E+F+G+H+I=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,则有 3(A+B+C)=A+B+C+D+E+F+G+H+I=45,则 A+B+C=15 ② D+E+F=15 ③ G+H+I=15 ④ A+D+G=15 ⑤ B+E+H=15 ⑥ C+F+I=15 ⑦ A+E+I=15 ⑧ C+E+G=15 ⑨ ②+③+④-⑥-⑧-⑨得 A+B+C+D+E+F+G+H+I-B-E-H-A-E-I-C-E-G=0 D+F-2E=0 ⑩ 1 又因为D+E+F=15 ③ ③-⑩得3E=15 E=5 ⑪  则方程②③④⑤⑥⑦⑧⑨可化为 A+B+C=15 ②＇ D+F=10 ③＇ G+H+I=15 ④＇ A+D+G=15 ⑤＇ B+H=10 ⑥＇ C+F+I=15 ⑦＇ A+I=10 ⑧＇ C+G=10 ⑨＇ ⑴令I=1，代入⑧＇得A=9，④＇-⑤＇得H+I-A-D=0 H-D=A-I=8,又由于H,D (1，2,3，4，   6，7，8，9),则H=9，D=1,与I=1互相矛盾 同理若I=9，则A=1，依上推论得D-H=8，D=9,H=1,互相矛盾 推论1：I 9且I 1   ⑵令I=2,代入⑧＇得A=8，⑦＇-⑨＇+④＇得 F+H+2I=20 F+H=16，又由于H,F (1，2,3，   4，6，7，8，9),则H,F (7,9)  ⅰ若H=9，则F=7，代入③＇④＇⑥＇⑦＇得D=3，G=4，B=1，C=6验算后成立 ⅱ若H=7，则F=9，代入③＇④＇⑥＇⑦＇得D=1，G=6，B=3，C=4验算后成立 得解为 8 1 6 8 3 4 3 5 7 1 5 9 4 9 2 6 7 2 图3 ⑶令I=3，代入⑧＇④＇得A=7，G+H=12，又由于H,G (1，2,3，4，6，7，8，9),则H,G (3,9),(4，   8)或（5,7），又因为I=3，A=7，则H,G (4，8)同理可得C,F (4，8),互相矛盾   同理若I=7，则A=3,依上推论得B,C (4，8)D,G (4，8)互相矛盾   推论1：I 3且I 7   2 ⑷令I=4，代入⑧＇得A=6，⑦＇-⑨＇+④＇得 F+H+2I=20