双曲几何又称罗氏几何.docVIP

双曲几何又名罗氏几何（ HYPERLINK /wiki/%E7%BD%97%E5%B7%B4%E5%88%87%E5%A4%AB%E6%96%AF%E5%9F%BA \o 罗巴切夫斯基 罗巴切夫斯基几何），是 HYPERLINK /wiki/%E9%9D%9E%E6%AC%A7%E5%87%A0%E9%87%8C%E5%BE%B7%E5%87%A0%E4%BD%95 \o 非欧几里德几何 非欧几里德几何的一种特例。与 HYPERLINK /wiki/%E6%AC%A7%E5%87%A0%E9%87%8C%E5%BE%B7%E5%87%A0%E4%BD%95 \o 欧几里德几何 欧几里德几何的差别在于第五条公理（公设）－ HYPERLINK /wiki/%E5%B9%B3%E8%A1%8C%E5%85%AC%E8%A8%AD \o 平行公设 平行公设。在 HYPERLINK /wiki/%E6%AC%A7%E5%87%A0%E9%87%8C%E5%BE%B7%E5%87%A0%E4%BD%95 \o 欧几里德几何 欧几里德几何中，若平面上有一条直线R和线外的一点P，则存在唯一的一条线满足通过P点且不与R相交（即R的平行线）。但在双曲几何中，至少可以找到两条相异的直线，且都通过P点，并不与R相交，因此他违反了 HYPERLINK /wiki/%E5%B9%B3%E8%A1%8C%E5%85%AC%E8%A8%AD \o 平行公设 平行公设。然而，取代 HYPERLINK /wiki/%E6%AC%A7%E5%87%A0%E9%87%8C%E5%BE%B7%E5%87%A0%E4%BD%95 \o 欧几里德几何 欧几里德几何中的 HYPERLINK /wiki/%E5%B9%B3%E8%A1%8C%E5%85%AC%E8%A8%AD \o 平行公设 平行公设的双曲几何本身并无矛盾之处，仍可以推得一系列属于它的定理，这也说明了 HYPERLINK /wiki/%E5%B9%B3%E8%A1%8C%E5%85%AC%E8%A8%AD \o 平行公设 平行公设独立于前四条公设，换句话说，无法由前四条公设推得 HYPERLINK /wiki/%E5%B9%B3%E8%A1%8C%E5%85%AC%E8%A8%AD \o 平行公设 平行公设。 到目前为止，数学家对双曲几何中 HYPERLINK /wiki/%E5%B9%B3%E8%A1%8C%E7%BA%BF \o 平行线 平行线的定义尚未有共识，不同的作者会给予不同的定义。在此，我们定义两条逐渐靠近的线为渐进线，它们互相渐进；两条有共同垂直线的线为超平行线，它们互相超平行，并且两条线为平行线代表它们互相渐进或互相超平行。双曲几何还有一项性质，就是 HYPERLINK /wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2 \o 三角形 三角形的内角和小于一个 HYPERLINK /wiki/%E5%B9%B3%E8%A7%92 \o 平角 平角（180°）。在极端的情况， HYPERLINK /wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2 \o 三角形 三角形的三边长趋近于无限，而三内角趋近于0°，此时该 HYPERLINK /wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2 \o 三角形 三角形称作 HYPERLINK /w/index.php?title=%E7%90%86%E6%83%B3%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2action=editredlink=1 \o 理想三角形（页面不存在） 理想三角形。 双曲几何专门研究当平面变成 HYPERLINK /wiki/%E6%8A%9B%E7%89%A9%E9%9D%A2 \o 抛物面 鞍马型之后，平面几何到底还有几多可以适用，以及会有什么特别的现象产生。在双曲几何的环境里，平面的 HYPERLINK /wiki/%E6%9B%B2%E7%8E%87 \o 曲率 曲率是 HYPERLINK /wiki/%E8%B2%A0%E6%95%B8 \o 负数 负数。 通过P点且渐渐趋近R（但不相交）的直线 不相交的线 已知在双曲几何上，至少有两条直线满足过P点平行直线R。接着在R上取一点B使得PB垂直R于B点，设在所有满足过P点且不与R相交的直线中，存在一条直线x与PB的逆时针方向夹角比其他直线都来的小，即任何一条直线若与PB的逆时针夹角小于x与PB的逆时针夹角，则必与R相交，并定义x为R的渐近线。同理，若存在另一条直线y与PB的顺时针方向夹角比其他直线都来的小，则y为R的另一条渐进线。并且，在所有满足过P点且不与R相交的直线中，唯有x与y是R的渐近线，其余的我们称之为R的