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第8章 狄拉克 函数 δ 1. 源与场 质点 →引力场， 电荷→电场， 热源→温度场… 数理方程的定解问题反映： 场 u(x , t)与产生这个场的源f (x , t) 之间的关系。 如：电学中，静电势 u 满足泊松方程 2 ρ ∇ u − ——静电势和源(电荷)的关系 ε ρ 要求 激发的场u，可通过点电荷激发的场和叠加原 理求得。 2.点源：质点﹑点电荷﹑点热源﹑点光源等等 r 点电荷激发的场：源点位于 处，场点位于 处 r 场的数学表示： ′ 1 G(r , r ) ′ 4πεr −r 3.连续分布的源所产生的场： 无数个点源产生的场的叠加。 注意：数理方程通常是线性的。已知源为点源时方程 的解，根据叠加原理求源头为连续分布时方程 的解。 8.1 一维 函数的定义和性质 δ 一、一维 函数的定义 δ 通过点电荷电荷密度的计算，引入 函数的定义。 δ x 设：均匀带电细线，中心位于 ，长度：l，总电量： 0 单位电荷1。 ⎧ l 0 ( − ) (1) x x ⎪⎪ 0 2 线电荷密度 η(x) ⎨ ⎪1 l ( − ≤ ) (2) x x ⎪⎩l 0 2 总电量 Q ∫∞η(x)dx 1 −∞ 当 时，电荷分布可看作位于 的单位点电 l →0 x x0 荷。此时 ⎧0 ( x ≠ x 0 ) η ( x ) ⎨ ( 3 ) ⎩∞ ( x