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微分的應用 3.1 極大和極小值 定義一(I) 極大值(maximum value) ： 在任意定義域 D中如果函數 f 的 x 滿足下列式： f (c) ≧ f (x) 即函數 f 在 x＝c 時會有絕對極大值(absolute maximum)或稱全域極大值(global maximum)，換句話說f (c)就是函數 f 在定義域D中的極大值(maximum value)。 定義一(II) 極小值(minimum value) ： 任意定義域 D中如果函數 f 的 x 滿足下列式： f (c) ≦ f (x) 即函數 f 在 x＝c 時會有有絕對極小值(absolute minimum)或稱全域極小值(global minimum)，換句話說f (c)就是函數 f 在定義域D中的極小值(minimum value)。 上述的最大和最小值稱為 f 的極值(extreme values)。 定義二 極大值(maximum value) ： 函數 f 對c點附近之 x 都滿足下列式： f (c) ≧ f (x） 即稱 f 在 c 點有區域極大值(local maximum)或稱相對極大值(relative maximum)。 極小值(minimum value) ： 函數 f 對c點附近之 x 都滿足下列式： f (c) ≦ f (x) 就說 f 在 c 點有區域極小值(local minimum)。 極小值 由圖2為極小值示意圖可知，當x＝0且y＝0時，則極小值為0且沒有極大值。 無極大極小值 如圖3所示為無極大極小值示意圖，由圖3可知任意x點與任意y點無法得到極大值與極小值。 定義三 極值定理： 函數 f 在一封閉區間[a, b]中連續，則在[a, b]中存在二個值c、d使得f (c)為絕對極大值且f (d)為絕對極小值，如圖4所示。 定義四 費馬定理： 函數 f 在c點有區域極值，且存在 ，則 如圖5所示，雖 然 但無極大極小值。 如圖6所示，雖有極小值但 不存在。 定義六、七 定義六： 函數 f 在c點使導數 或 不存在時，稱 c 點是函數 f 的一個臨界點(critical point)。 定義七： 若 函數 f 在c點有區域極值，則 c點 是函數 f 的一個臨界點。 閉區間法 依造下列1至3步驟，可求出連續函數 f 在封閉區間[a, b]之絕對極值： 步驟一：在(a, b)的臨界點上求得函數 f 的函數值。 步驟二：求函數f 在端點的值。 步驟三：藉由步驟一和步驟二得到的值中，其最大的值就是 絕對極大值；其最小的值就是絕對極小值。 3.1 習題 請找出下圖中函數的相對和絕對極值。 3.2 均值定理(I) 洛爾( Rolle)定理 ： 假設函數 f 滿足下列三個條件： 條件一：函數f 在封閉區間[a, b]連續。 條件二：函數f 在封閉區間[a, b]可微。 條件三： 函數f (a)等於函數f (b) 則在(a, b)中存在一c點滿足函數 。 均值定理(II) 如圖7所示，均符合洛爾( Rolle)定理條件一至條件三： 均值定理(III) 均值定理(Mean Value Theorem): 當函數 f 滿足下列條件時： 條件一：函數f 在封閉區間[a, b]連續。 條件二：函數f 在封閉區間[a, b]可微。 則在(a, b)區間中存在一c點滿足下列式子： 1. 2. 定理與引理 定理： 若函數 f 在(a, b)區間中，其任一x點都滿足下列式： 則函數 f 在(a, b)是一常數函數。 引理： 如果二個函數 f 和 g 在區間(a, b)中的任一數 x 都滿足 則函數f - g在(a, b)上是一常數函數；換句話說存在一常數c形成下列式： f (x)=g (x) + c 3.2 習題 於函數 f 之圖形中求出c點，其必須在 [0,8]區間中且滿足均值定理： 3.3 導數和函數的圖形 遞增與遞減 遞增與遞減之檢定： (a)函數 f 如果在區間上滿足下列式： 則函數 f 在這區間是遞增函數。 (b)函數 f 如果在區間上滿足下列式： 則函數 f 在這區間是遞減函數。 一階導數 一階導數之檢定 ： 假設c是連續函數 f 的一臨界點： (a)如果 則函數 f 在c點上有區域極大值。 (b)如果 則函數 f 在c點上有區域極小值。 (c)如果 正負號沒有變 則函數 f 在c點就沒有區域