《计算机辅助几何造型技术》38157051921.pdfVIP

第3章Bezier 曲线与曲面  曲线和曲面造型在CAD/CAM、机械设计、汽车和 飞机制造等领域有着广泛的应用飞机制造等领域有着广泛的应用,,是计算机图形是计算机图形 学的重要研究内容之一。由于几何外形设计的要 求越来越高,传统的曲线曲面表示方法,已不能满 足用户的需求。半个世纪以来,曲线曲面造型技 术的发展层出不穷。  1962年,法国雷诺汽车公司的P.E.Bezier将函数逼近 同几何表示结合起来,构造了一种以逼近为基础的参 数曲线和曲面的设计方法及其数曲线和曲面的设计方法及其UNISURFUNISURF曲线和曲面设曲线和曲面设 计系统,使得设计师在计算机上就象使用作图工具一 样得心应手。1972年,该系统被投入应用。  1963年，美国波音(Boeing)公司的佛格森(Ferguson) 将曲线曲面表示成参数矢量形式。  1964196419641964年年年年，，麻省理工学院麻省理工学院麻省理工学院麻省理工学院(MIT)(MIT)(MIT)(MIT)的孔斯的孔斯的孔斯的孔斯(C(C(C(Coonsoons))))用封闭曲用封闭曲用封闭曲用封闭曲 线的四条边界定义一块曲面。线的四条边界定义一块曲面。  1964196419641964年年年年,,舍恩伯格舍恩伯格舍恩伯格舍恩伯格(Schoenberg)(Schoenberg)(Schoenberg)(Schoenberg)提出了参数样条曲线提出了参数样条曲线提出了参数样条曲线提出了参数样条曲线、、 曲面的定义。曲面的定义。 ，德布尔年，德布尔((((de Boorde Boor))))给出了给出了BB样条的标准计算方样条的标准计算方 法。法。 ，通用汽车公司的戈登年，通用汽车公司的戈登(Gordon)(Gordon)和里森费尔德和里森费尔德 (Ri(Ri(Ri(Riesenesenffffeeld)ld)ld)ld)在在在在BBBB样条理论的基础上样条理论的基础上样条理论的基础上样条理论的基础上，，提出了提出了提出了提出了BBBB样条曲线样条曲线样条曲线样条曲线、、 曲面。曲面。  1975197519751975年年年年，，，，美国的佛斯普里尔美国的佛斯普里尔美国的佛斯普里尔美国的佛斯普里尔(Versprill)(Versprill)(Versprill)(Versprill)提出了有理提出了有理提出了有理提出了有理BBBB样样样样 条方法。条方法。  8080年代后期，美国的蒂勒年代后期，美国的蒂勒(Tiller)(Tiller)和匈牙利人皮格尔和匈牙利人皮格尔 (Piegl)(Piegl) 对非均匀有理对非均匀有理对非均匀有理对非均匀有理BB样条样条样条样条(NURBS)(NURBS)方法进行了广泛方法进行了广泛方法进行了广泛方法进行了广泛 研究。研究。 3.1 Bezier曲线曲线 3.1.1 Bezier曲线的定义和性质 11．定义定义 给定空间n+1 个点的位置矢量Pi （i=0 ，1，2 ，…，n），则 BezierBezier参数曲线上各点坐标的插值公式是参数曲线上各点坐标的插值公式是： 其中，Pi构成该Bezier 曲线的特征多边形，Bi,n(t) 是n 次 BernsteinBernstein基函数基函数：： ii ii nii nn!! ii nii B (t) C t (1t) t (1t) , (i 0,1,, n) i ,n n i!(n i)! 其中规定其中规定：0!=1 。下图所示是两条下图所示是两条3次次Bezier 曲线的例子曲线的例子： P P 1 P