1-3变异系数与相关系数-建中数学科.PDF

§1−3 變異係數與相關係數 (甲)變異係數 例子一： 設某次段考 ，高三某班的國文 成績的算術平均數與標準差分別為 80 分、10 分； 英文成績的算術平均數與標準差分別為 60 分、 10 分；雖然國文與英文的標準 差相等，如果我們得到結論是國文與英文成績的差異程度一樣，顯然不合理。 現在我們比較兩科的標準差與算術平均數的比值： 10 1 10 1 國文科： = ，英文科： = ，從這兩科的比值來看，我們可以認為 80 8 60 6 英文成績的差異會比國文成績的差異大。 例子二： 同時測量一張桌子的長度 10 次， 10 次長度的算術平均數為 1.72 公尺，標準差 為 0.04 公尺 ，若我們改變單位將公尺改為公分 ，算術平均數為 172 公分 ，標 準 差為 4 公分 ，若我們比較兩個標準差 0.04 公尺與 4 公分 ，雖然 0.044 ，但是若 我們得到這兩筆資料的差異程度不同，這就會鬧笑話了！但是我們比較這兩筆 0.04 4 資料標準差與算術平均數的比值 ： = 172 ，這就可以呈現出這兩筆資料的 1.72 差異程度相同。 比較兩組或兩組以上的資料之差異時 ，通常採用一種相對的測度值作為比較的 標準。因此無論兩筆資料的單位與取 值範圍是否相同，若用算術平均數為基 準，以標準差相對於算術平均數的比值來比較 ，就可以比較離散程度，比值愈 大表示資料間的差異也愈大。 (1)變異係數 (CV)的定義： S 變異係數 的定義：CV= X ×100% ，SX 為標準差， x 代表算術平均數。 x CV的意義是計算標準差相對於算術平均數的百分比。 百分比越大，代表資料越分散。 [例題1] 某校高三有兩班，甲班學生身高平均值為 168.5 公分，標準差為 7.2 公分； 乙班學生身高平均值為 159.6 公分 ，標準差為 4.8 公分 。試問那一班學生身高 較懸殊？ [解法] ： 7.2 (CV)甲= 168.5 ×100%=4.27% 4.8 (CV)乙= 159.6×100%=3.01% ⇒(CV)甲(CV)乙 ⇒甲班學生身高差異較乙班大。 ~1−3−1~ (練習1) 第一次月考 ，甲 、乙兩班數學的平均成績分別為 80 分、70 分，標 準差 分別為 9 分， 8 分，試問那一班的同學之程度比較平均？ Ans ：甲班 (練習2) 某次數學考試，統計結果如下表 ：試求 ： (1)全部 100 人的平均成績 X 為多少分？ (2)那一班的程度比較平均？用數據說明。 (3)全部 100 人的標準差 S 為多少分？ (至小數第三位再四捨五入) Ans ：(1)67 分 (2) 乙班 (3)9.19 分 甲班 乙班 平均成績 70 分 65 分 標準差 10 分 8 分 人數 40 人 60 人 (乙)相關係數 通常身高很高的人 ，體 重不會太輕 ，物理成績高的學生 ，數學成績通常也不 會很低，不管是身高、體重或是物理、數 學成績，我們如何來衡量這兩個資料 間的關係呢？可否由身高來預測體重，或是由數學成績來預測物理成績呢？ (1)散布圖 (scatter plot) ： 設高三某班 10 位同學身高