隐函数微分法则.ppt

8 一般函數模型之比較靜態分析 一般函數模型之比較靜態分析 8.1 微分式 8.2 全微分式 8.3 微分式法則 8.4 全導來式 8.5 隱函數之導來式 8.6 一般函數模型之比較靜態分析 一般函數模型之比較靜態分析 章旨：前一章討論偏微分後，及可以處理較簡單的比較靜態問題。 也就是，其均衡解可以縮減式明顯表示出。再將其解經過偏微分後，便可產生所求，比較靜態式。偏微分的前提，自變數間不存在任何函數關係。 若模型內加入一般函數，以致無法得到清楚表示出之縮減式解，比較靜態分析過程就不能如此迅速達成。此時，需直接由模型內已知方程式，求得比較靜態導數。 一般函數模型之比較靜態分析 例： Y ＝ C ＋ I0 ＋ G0 C ＝ C(Y, T0) [T0：外生稅收變數] 經縮減為單一方程式（均衡條件） Y ＝ C(Y, T0) ＋ I0 ＋ G0 C 為一般函數形，無法得到顯解。需直接由原方程式求比較靜態導式。 此時，需採用全微分。全微分以求全導數，以計算如C(Y, T0)函數關於T0之變動率，式中T0亦影響另一自變數。便可處理自變數間非皆為獨立之函數。 8.1 微分式 1. 微分式與導數 ?y ≡（?y / ?x）?x ? dy ≡（dy / dx）dx或dy與dx為 y與x之微分 式（differentials） ?導數可解釋為兩個微分式之商 例1 。求微分式dy 8.1 微分式 2. dy與?y近似值間的誤差由來 例1所得之微分式dy ＝（6x+7）dx，可以用來計算由於x之變動所造成y之變動量為何。然而，微分式dy與dx只應視為無限小之變量。若將相當之x變動量（?x）代入，所得之dy僅可作為對應之y變動量（?y）的近似值。 例如，x由5變為5.01，得dy ＝ （6×5+7）×（0.01）＝0.37。而y之實際變量?y ＝ 105.3703 － 105 ＝0.3703。兩者存在0.0003之誤差。 8.1 微分式 圖8.1 8.1 微分式 3. 微分式與點彈性 需求彈性的定義： 需求的點彈性： 例2.若需求函數為Q ＝ 100 － 2P，求需求價格彈性。 ?線性需求曲線的需求價格彈性。 8.1 微分式 4. 圖形法求點彈性（圖8.2、8.3） A點之邊際函數值為切線AB之斜率；而A點之平均函數值為直線OA之斜率 ?于A點，y ＝ x0A，x ＝ Ox0，故得平均值 y / x ＝ x0A / Ox0 ＝直線OA之斜率。 若AB比OA陡，則函數於A點富有彈性；反之則為缺乏彈性（又兩斜率之比較也可以直接比較兩角θm與θa之大小）。 8.2 全微分式 1.全微分式（total differential）：可將微分式之概念推廣及於含有兩個或更多個自變數之函數。 8.2 全微分式 1. 儲蓄函數 S ＝ S (Y, i) 式中S表儲蓄，Y表國民所得，i表利率。假定此函數具連續且可微分特性。 8.2 全微分式 S之全部變動為 或 式中dS為兩種變動量之和，稱為儲蓄函數之全微分式。(其中第一項為S因為Y改變而變動的部分, 第二項為S因為i改變而變動的部分. ) 當Y變動時，i若保持固定不變（d i =0）。全微分是就會縮減為偏微分式。 8.2 全微分式 2. 偏彈性（partial elasticities）儲蓄的所得彈性與儲蓄的利率彈性 8.3 微分式法則 法則I d (c un) ＝ cnun-1du [與指數函數法則對應] 法則II d (u ± v) ＝ d u ± d v [與和差法則對應] 法則III d (u v) ＝ v d u ＋ u d v [與乘積法則對應] 法則IV [與商法則對應] 8.3 微分式法則 試求以下函數之全微分式 例1 例2 例3 8.3 微分式法則 法則V d (u ± v ± w) ＝ d u ± d v ± d w 法則VI d (u v w) ＝ v w d u ＋ u w d v ＋ u v d w 8.4 全導式 全導式並不令自變數間相互獨立 1. 求全導式（derivative） y ＝ f (x, w) 其中 x ＝ g (w) w可透過兩種方式影響 y：（1）間接的，即透過函數g然後f；（2）直接的，透過函數f。 首先全微分y，得全微分式d y = f x d x + f w d w。 兩邊同除以微分式d w，得