计算机图形学_第十二章_曲线曲面造型.pptVIP

Lecture 12 曲线曲面造型 概述 在CAD/CAM领域，存在大量的曲线与曲面，因此，曲线与曲面造型技术是CAD/CAM系统的关键技术。 曲线曲面模型可用数学函数或一系列用户指定的数据点来定义。 曲线表示的基本知识 曲线可以用显式、隐式和参数表示，由于参数表示的曲线、曲面具有几何不变性等优点，计算机图形学中通常用参数形式描述曲线 . 位置矢量 位置矢量即该位置所在点的坐标值，如图所示，曲线上任一点的位置矢量可表示为： 型值点和控制点 所谓型值点，是指通过测量或计算得到的曲线上少量描述曲线几何形状的数据点。由于的数量有限，不足以充分描述曲线的形状，因此，通常是求得一些型值点后，采用一定的数学方法，建立曲线的数学模型，从而再根据数学模型去获得曲线上每一点的几何信息。 所谓控制点，是指用来控制或调整曲线形状的特殊点，曲线段本身不通过该控制点。 Bézier曲线 Bézier曲线的定义 给定空间n+1个点的位置矢量Pi（i=0，1，2，…，n），则Bézier参数曲线上各点坐标的插值公式为： 式中，Pi构成该Bézier曲线的特征多边形，Bi,n(t)是n次Bernstein基函数： Bézier曲线 一般折线P0P1…Pn为P(t)的控制多边形；称P0,P1,…,Pn各点为P(t)的控制顶点。Bézier曲线P(t)与其控制多边形的关系可以这样认为：控制多边形P0P1…Pn是P(t)的大致形状的勾画，而P(t)是对P0P1…Pn的逼近。 Bézier曲线的性质 端点的位置 由Bernstein基函数可以推得： 当t=0时，P(0)=P0 ；当t=1时，P(1)=Pn 由此可见，Bézier曲线总是通过第一个和最后一个控制点，即P0和Pn，即Bézier曲线的起点、终点与相应的特征多边形的起点、终点重合。 Bézier曲线的性质 端点的切线 Bézier曲线在端点处的切矢量 可以通过控制点的坐标进行计算： 因为 所以 由此可得,Bézier曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边形的第一条边及最后一条边的走向一致。 Bézier曲线的性质 权性 由二项式定理可知： Bézier曲线的性质 凸包性 由于 ，且 ，这一结果说明当t在[0，1]区间变化时，对某一个t值，P(t)是特征多边形各顶点的加权平均，权因子依次是 。在几何图形上，意味着Bezier曲线P(t)在 中各点是控制点Pi的凸线性组合，即曲线落在Pi构成的凸包之中，如图所示。 Bézier曲线的性质 几何不变性 这是指某些几何特性不随坐标变换而变化的特性。Bezier曲线位置与形状与其特征多边形顶点 的位置有关，它不依赖坐标系的选择。 Bézier曲线的性质 变差缩减性 若Bezier曲线的特征多边形 是一个平面图形 ， 则平面内任意直线与C(t)的交点个数不多于该直线与其特征多边形的交点个数，这一性质叫变差缩减性质。 此性质反映了Bezier曲线比其特征多边形的波动还小，也就是说Bezier曲线比特征多边形的折线更光顺。 三次Bézier曲线的矩阵表示 在利用Bézier曲线造型时，如果其次数太高，固然能表示复杂的形状，但同时会造成计算复杂度增加，并且高次曲线有太多的控制顶点，形状不易控制。 二次Bézier曲线表示能力有限，又是平面曲线，所以最常用的就是三次Bezier曲线。 三次Bezier曲线是非平面Bézier曲线中的最低次曲线，表示能力强，形状控制方便。故在一些图形软件包中，只有三次Bézier曲线，使得设计更加方便，同时避免了由于高阶多项式带来的计算量的增加。 三次Bézier曲线的矩阵表示 当n=3时，由特征多边形的顶点P0、P1、P2、P3可定义一条三次Bézier曲线。这时曲线定义形式为： 矩阵形式为 Bézier曲线的计算 计算Bezier曲线上的点，可用Bezier曲线方程，但使用de Casteljau提出的递推算法则要简单的多。 如下图所示，设 、 、 是一条Bezier曲线上顺序三个不同的点。 过 和 点的两切线交于 点, 在 P2点的切线交 和 于 和 ，则如下比例成立：