关于二次型x＊Ax最大值和最小值的教学思考.pdfVIP

关 于二次型X木Ax最大值和最小值 的教学思考 袁仕芳1 曾丽容2 陈云长1 (1五邑大学 数学与计算科学学院；2五 邑大学 图书馆 ，广东 江门 529020) 摘 要 ： 本文利用Rayleigh~i给 出的Hermite~阵特征值 的表达式，研究二次型xAx的最大值和最小值。作为应用，本 二次型的最大值和最小值 已引起许多学者的关注和研 文还研 究了它在二维向量空间上最大值和最小值。 究，见文献[2—6]。在此我们结合大学数学的教学实际来探索 ● 关键词 ：二次型XAx 最大值和最小值 求法 二次型XAx的最大和最小值的求法。这样既可达到巩 固提高 大学生关于微积分和线性代数的基础知识 ，又是大学数学学 1．引言 习和教学方法的一种尝试 ，即通过一些综合性 问题 的研究去 首先介绍一下本文所有 的符号 ：C表“示n维复 向量 ，R”表 激发大学生的学习兴趣和学习动机 。培养他们分析问题 、解决 示n维实向量 ，H 表“示n阶Hermite矩阵，SR 表示n阶实对称 问题的能力 。对于Hermite矩阵A，它的特征值全是实数 ，且必 矩阵。X表示 向量x的共轭转置 ，x表‘示实向量x的转置 ，A表示 存在酉矩阵P，使PAP=PAP为对角形矩阵。在本文 中，我们可 A的共轭转置矩阵，A表‘示A的转置矩阵。当A=A时，A称为 以发现二次型XAx的最大值、最小值同矩阵A的特征值有密切 Hermite矩阵。 关 系。 函数的最大值 、最小值是高等数学 中一个主要 内容 ．二次 2．二次型xAx的最大值和最小值 型f(x)=xAx是线性代数 的一个重要内容，它们在大学数学教 对x∈C“，A∈H ，则f(x)=xAx是复数域上的Hermite矩阵 学 中处于核心地位 ，同时在具体实际应用 中也有着重要意义。 例如 ，文献指 出，在解析几何 中，我们利用正交变换 A的二次型，或称为Hermite矩阵A的复二次型。我们知道Her． COSO mite矩阵的特征值是实数 ，并且可表示成Rayleigh—Ritz商(xAx) ＼ 0 ． sin0／(Y~)， (1) ／(xx)的极值 ，具体表述成下面的引理 。 可以将二次型f(xl，X2)=ax：+bxlx2+ex：化为标准型g(yI，Y2)= 引理1 (Rayleigh—Ritz)：设A为n~n的Hermite矩阵，，≥ 21x2I= 6Ix8I= (5)有利于形成数学建模思想 41x41= 3lx51= 数学建模是需要从定量的角度分析和研究一个实际问题 7lx5；1= 9lx3l= 时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设’、 教师应通过引导学生观察算式 ，概括 出特殊类型 的特征 ， 分析 内在规律等工作的基础上 ，用数学的符号和语言，把它表 然后发现积与乘数之间的关系，提 出猜想、再通过举例验证猜 述为数学式子 ，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型 想 ．表达发现 的规律 。学生一旦发现其 中的规律 ，就会感受到 结果来解释实际问题 ，并接受实际的检验。这个建立数学模型 自己又多了一种本领 。这样不但能够使加快学生的计算速度 ， 的全过程就称为数学建模 。在探索规律的教