由反三角函数教学引发的哲学思考 - 台湾数学教育学会.pdf

靳衛軍、王西茜 （2013 ）。 由反三角函數教學引發的哲學思考 。 台灣數學教師 電子( )期刊 ，34 ，1-12 。 由反三角函數教學引發的哲學思考 靳衛軍 1 王西茜2 1 山西省長治市華北機電學校圖書館 2 山西太原師範學院計算機系2008 級學生 反三角函數概念一直是教學難點，本文通過典型問題的深入反思，尤其例 3 反思中兩種不同方 法引發出現的問題，不僅暴露出對問題理解的膚淺，更加凸顯出傳統解題教學方法的弊端 ，深 入反思不僅促進了學生對問題的深刻理解 ，同時也更進一步體驗到數學本質上是一種理性探索 精神。 關鍵詞 ：反三角函數概念 、數學反思 、數學理解 通訊作者：靳衛軍， e-mail ：1596357695@ 收稿：2013 年5月 3日； 接受刊登：2013 年9月 27日。 2 台灣數學教師(電子)期刊 第 34 期 例子總是比說教來的強，讓我們靜心來研究幾個例子吧—— 我總認為例子比泛談更重要。1 只有理解人類如何獲得某些事實或概念的知識，我們才能對人類的孩子如何獲得這樣的知 識作出更好的判斷。 2 —— 喬治 ．波利亞 （George Pólya ） 壹、實踐暴露出的問題 反思中突破 反三角函數概念一直是教學難點，從課堂表面教學效果上看學生能完成教材的習題，對概 念是有一定的認識，但涉及深層次理解的問題就暴露出了理解上的不足。下面是筆者在教學中 遇到的問題。 一、一道令人迷惑的高考選擇題 π π  3  −1 例 1 ．函數f (x) sin x ，x ∈2 , 2 的反函數f (x) （ ） （A ）−arcsin x ，x ∈[−1,1] （B ）−π −arcsin x ，x ∈[−1,1] （C ）π +arcsin x ，x ∈[−1,1] （D ）π −arcsin x ，x ∈[−1,1] 題目出處 ：2003普通高等學校招生全國統一考試（全國卷）：數學（理工農醫類）（2013 ） 筆者一時無法給出一個正面、直接的解答，決定嘗試看看可能是哪一個答案，然後再作嚴 格證明。筆者嘗試做了解答。我們知道原函數的定義域即為反函數的值域。f −1(x) arcsin x 顯 π π π 3π 然不合題意。因為− ≤arcsin x ≤ ，而 ≤π +arcsin x ≤ ，我覺得選 （C ）比較合理， 2 2 2 2 可參考答案為 （D ）。參考答案也給出了一個相似的理由，選（D ）似乎也是合理的，因為 π π π 3π − ≤− x ≤ ，而 π ，所以 −1 也在情理中。兩個 arcsin ≤ −arcsin x ≤ f (x) π −arcsin x 2 2 2 2 答案究竟應該選擇哪一個？一個函數的反函數形式應該是唯一的。我們在求反函數時一定錯 了，但錯在哪確實需要澄清。一時沒有頭緒找個學生談談，或許交流中能有什麼新的想法。 二、學生的解答 根據反函數的值域和單調性學生很快就給出了正確答案。 π π 3π π