§310 分布参数法建模.pptVIP

§3.10 分布参数法建模 例8 人口问题的偏微分方程模型 例9 交通流问题 * 前面建立的模型都用了考察对象在系统中的均匀分布假设。这种方法建模被称为集中参数法。 考虑个体差异（或分布差异）的建模方法被称为分布参数法。分布参数法用于连续变量的问题时，得到的通常都是偏微分方程，无论建模还是求解都比较困难。仅举两个简单例子，来说明这种方法的应用。 人有年龄、性别等区别，本例中考虑到这些因素，用分布参数法来建立人口问题的数学模型。 令p(t,x)为t时刻年龄为x的人口密度，则t时人口总数为： 其中A为人的最大寿命。 设t时刻年龄为x的人的死亡率为d(t,x)，则有： dx=dt，由上式可导出： （3.38） 初始条件: P(0,x)=P0(x) （3.39） 边界条件: （3.40） k(t,x)女性性别比 b(t,x)女性生育率 [x1,x2]妇女生育期 对（3.38）式关于x从0到A积分，得： 令： B(t)、D(t)分别为t时刻的生育率和死亡率。则有： 若B(t)、D(t)与t无关，则可得: 此即Malthus模型 问题的两个角度： 司机或旅客 安全、快速地到达目的地 交通管理部门 尽可能多的人安全地通过 集中参数法： 假设车流量是均匀分布 目标使车流密度保持在安全的范围之内，让司机尽可能开得快些即可，必要时司机自己会刹车。 现实生活中可能吗？ 车流密度和车速不可能是常数 分布参数法： x轴表示公路，x轴正向表示车流方向。 如果采用连续模型，设u(t,x)为时刻t时车辆按x方向分布的密度，再设q(t,x)为车辆通过x点的流通率。 车辆数守恒，有： 假设函数连续可微，有： （3.41） 由于安全上的原因，q是u的函数，该函数关系称为基本方程或结构方程。 利用经验公式导出基本方程。 q 0 u um uj 图3-28 图3-28是根据美国公路上的车辆情况而统计出来的曲线,其中u的单位是车辆数/每英里，q的单位为车辆数/每小时。图中可以看出： （2）u增大到一定程度（达到um）时，q达到最大；u继续增大时，车辆流q将减小，这表示车辆密度太大反而会影响车辆率，使之下降，（出现堵塞）。 （1）当u的值较小时，公路利用率较低，q较小（u=0时公路是空置的，车辆率q为零）；随着u的增大，公路利用率逐渐提高，q逐渐增大。 根据美国公路实际统计： 当u≈75辆/每英里可达到最大车辆流当u≈225辆/英里时，q≈0，即堵塞。 根据图3-28中曲线的特征，可用多种函数来拟合q=q(u)。 uf为自由速度，uj为出现完全堵塞时的车流密度 。 Greenshields用二次函数来拟合。 他令： 0≤u≤uj um=uj/2，qm=ufum/2 有： 将Greenshields的基本方程代入（3.41），利用复合函数求导法则并注意到uf、uj均为常数，可得： 令 ，方程可简化为： 初值条件： *