氢原子的能量与波函数-中正化生系-中正大学.PDF

氫原子的能量與波函數 氫原子中質子和電子相對運動的Hamiltonian 是 2 ⎛ 2 2 2 ⎞ 2 ˆ −h ∂⎜ + ∂ + ∂ ⎟− Ze (1) H 2μ⎜∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ⎟ 4πε r ⎝ ⎠ 0 氫原子的薛丁格方程式在xyz 座標下無法做變數分離，因此我們改用球座標。在 球座標下， ⎛ ∂2 ∂2 ∂2 ⎞ 2 2 2 ∇2 ⎜ + + ⎟ ∂ 2 ∂ 1 ∂ 1 ∂ 1 ∂ + + + cotθ + (2) ⎜⎝∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ⎠⎟ ∂r2 r ∂r r2 ∂θ2 r2 ∂θ r2 sin2 θ ∂φ2 與三度空間旋轉的薛丁格方程式比較，上式可寫成 2 2 ∂ 2 ∂ 1 ˆ2 ∇ + − L (3) ∂r2 r ∂r r2h2 因此，氫原子的Hamiltonian 可寫成 2 ⎛ 2 ⎞ 2 ˆ −h ∂⎜ +2 ∂ ⎟+ 1 ˆ2 − Ze (4) H L 2μ⎜∂r2 r ∂r ⎟ 2μr2 4πε r ⎝ ⎠ 0 我們現在假設氫原子的波函數可寫成 ( ) () ( ) ψ r,θ,φ R r Y θ,φ (5) 將(4),(5)帶入薛丁格方程式中得 h2 ⎛⎜ d 2 2 d ⎞⎟ 1 ˆ2 Ze2 − Y R +Y R +R L Y − RY ERY (6) 2μ⎜⎝ dr2 r dr ⎠⎟ 2μr2 4πε0r 等號兩端同除RY 得 h2 ⎛⎜ 1 d 2 1 2 d ⎞⎟ 1 1 ˆ2 Ze2 − R + R + L Y − E (7) 2μ⎜⎝R dr2 R r dr ⎠⎟ 2μr2 Y 4πε0r 上式若成立則首先 1 ˆ2 L Y constant (8) Y 由三度空間的旋轉得知 ( ) Y Yl,ml θ,φ spherical harmonics (9) ˆ2 ( ) 2 L Yl,ml l l +1 h Yl,ml (10) 因此，(6)式可改寫成 h2 ⎛ 2 ⎞ ( ) h2 2 − ⎜ d R +2 d R ⎟+l l +1 R − Ze R ER (11) 2μ⎜⎝dr 2 r dr ⎠⎟ 2μ r 2 4πε0r (11)式稱為rad