三圆两两外切的空隙圆.docVIP

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三圆两两外切的空隙圆.doc

三圆两两外切的空隙圆   一、引理 在△ABC中,D、E、F分别是边BC、CA、AB上的点,而且AE=AF=a,BF=BD=b,CD=CE=c,a0,b0,c0(如图1),那么   (1) = 。 (1)   (2)△ABC的内切圆与边BC,CA,AB,分别切于点D,E,F。   (3)△ABC的内切圆的半径R= 。 (2)   证明(1)△ABC的三边长分别为AB=a+b,BC=b+c,CA=c+a,半周长p= (AB+BC+CA)   =a+b+c,由三角形面积的海伦公式得   = = 。   (2)设△ABC的内切圆的圆心为O,⊙O切边BC,CA,AB于L,M,N.由切线性质得AM=AN,BN=BL,CL=CM,而且   AM+BN=AN+BN=a+b   BN+CL=BL+CL=b+c   CL+AM=CM+AM=c+a   由这三式解得AM=a=AE,BN=b=BF,   CL=c=CD,从而L与D重合,M与 E   重合,N与F重合。   (3)因D,E,F是⊙O与边BC,CA,AB的   切点,所以OE?ACA,OD?ABC,OF?AAB,而且OD=OE=OF=R, = + + =   R(AB+BC+CA) =R(a+b+c),再由(1)式得R= .   说明,在引理中,若分别以△ABC的三顶点A、B、C为圆心,以a、b、c为半径作圆,那么⊙A、⊙B、⊙C两两外切,而且OF、OD、OE就是⊙A、⊙B、⊙C两两的公切线。   二、空隙圆的半径   在一平面上,设⊙A,⊙B,⊙C两两外切,切点分别是AC上的点L,AB上的点M,BC上的点N.显然,由弧线LM,MN,NL所围成的“三角形”区域(简称空隙域)?龋?存在一个⊙P与⊙A,⊙B,⊙C都外切,称此圆为空隙圆(见图2)。   定理 在一平面上,设⊙A,⊙B,⊙C两两外切,而且它们的半径分别为 , , ,则与⊙A,⊙B,⊙C都外切的空隙圆⊙P的半径为   r= . (3)   其中R= , =1+ ,i=1,2,3. = . (4)   证明 在图2中,设O为△ABC的内心,连接OL,OM,ON。由引理及其说明知,OL,OM,ON分别是⊙A与⊙C、⊙A与⊙B、⊙B与⊙C的公切线,而且是△ABC的内切圆的半径,再设⊙P分别与⊙A、⊙B、⊙C外切于点Q,T,S,过Q、T、S分别作⊙P的切线,三切线两两相交于D、E、F,由引理及引理的说明知, D、E、F分别在线段ON,OL,OM内,而且是△BOC,△COA,△AOC的内心,设DN= ,EL= ,FM= ,那么 、 、 分别是△BOC、△COA、△AOC的内切圆的半径.由切线性质知,△DEF的三边边长分别为 + , + , + .由引理知△DEF的内切圆⊙P   的半径r= ,下面求 、 、 。   设△ABC的内切圆半径为R,.连接BF,BD,则BF,BD分别是∠MBP,∠NBP的角平分线,且BP⊥DF。设∠MBF= ,∠NBD= ,则 + = ∠MBN=∠MBO.在Rt△BMF、Rt△BND、Rt△BMO   中,tg = = ,tg = = , = =tg∠MBO=tg( )= = ,于是   + + =R (5)   同理可得 + + =R, + + =R (6)   (5)(6)变形得   (7)   方程组(7)的每个方程的两端都乘以R后再变形得   (8)   令 =1+ ,i=1,2,3. = . 因为D,E,F分别在线段ON,OL,OM内,且ON=OL= OM=R,   所以 , , .将方程组(8)的三个方程两端相乘后再开平方,便得 = ,此式与(8)可解得 -1= , -1= , -1= ,   所以 = , = , = . (9)   于是 = = ,   + + = + +   =   =   = 。   所以r= = ,   其中R, , , , 由(4)式确定。   推论1当 = = 时,r= 。 (10)   证明 由(4)式,R= , = = =1+ = , = ,将它们代入(3)式得(10)。   推论2当 = 时,   r= (11)   证明 据(4)式, R= , = =1+ =   ,   = , = .将它们代入到(3)式经化简即得(11)。   参考文献   [1]数学手册。人民教育出版社,1979年5月。   [2]许莼舫初等几何四种,中国青年出版社1978年10月。 4

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