“两角和与差的余弦”的教学案例与反思.docVIP

“两角和与差的余弦”的教学案例与反思 　　[摘 要] 本节课是向量与三角函数的综合应用，在讲述过程中要体现化归思想以及数形结合思想，通过向量以及三角函数的定义得到两角和与差的余弦公式，并对诱导公式进行小结。教师设置问题情境，类比特殊情况，继续创设问题，利用已知结论，巩固延伸，拓展应用。设置的问题要具有启发性、层次性、激励性、体验性，要给学生充足的时间，教师要学会倾听，允许不同的声音存在，营造一个民主宽松的课堂氛围。 　　[关键词] 三角函数；向量应用；问题情境 　　一、案例背景 　　一堂好课即一堂学生学得好的课。好的课堂教学不是结果的教学，而是动态的思维活动的教学。教师可以设置一些好的问题，引导学生主动质疑、探究，实施“问题引导探究”，在探究过程中，让学生动手操作，生成智慧，发现数学的本质。 　　“两角和与差的余弦”这节课是苏教版《必修4》第三章“三角恒等变换”3.1 “两角和与差的三角关系”中的第一节内容，是在学习过第一章“三角函数”和第二章“平面向量”后学习的内容，可以借助三角知识，利用平面向量这个工具，加以研究。 因为和前面两章都有紧密的联系，需要用到前面两章的知识，所以这节内容的难度大，探究性强，所渗透的数学思想方法较多。 并且这节课为后面学习“两角和与差的正弦、正切”打下基础。 　　二、案例描述 　　（一）设置问题情境，实际背景中感知两角差的余弦公式形式特征 　　情境引入： 　　教师：同学们，翻到课本P90第22题，解决这个问题。 用向量数量积的两种形式求a?b，可以得到什么结论？ 　　学生：cos？兹=cos75°cos15°+cos75°cos15° 　　教师：向量a，b的夹角是多少呢？（学生思考） 　　教师：如果要求两个向量的夹角，这两个向量要共起点，不妨设起点为O，设a=■，b=■，那么点P，Q在哪里呢？ 　　学生：75°，15°角与单位圆的交点，夹角为60°。 　　（学生回答过程中，在黑板上画出直角坐标系和单位圆） 　　教师：可以得到什么结论？ 　　学生：cos（75°-15°）=cos75°cos15°+sin75°sin15° 　　教师：如果这个结论可以推广到一般的形式，那么一般形式是什么呢？ 　　学生：cos（？琢-？茁）=cos？琢cos？茁+sin？琢sin？茁 　　教师：那这就是我们这一节的任务：验证这个式子是否成立。 　　（板书：3.1.1两角和与差的余弦） 　　（二）类比特殊情况，继续创设问题，探究两角差的余弦公式 　　教??：能不能借助刚才的研究方法来研究任意角？琢，？茁呢？ 　　（学生自主探究。在探究的过程中引导学生分两种情况来研究：①若？琢∈[0，2？仔），？茁∈[0，2？仔），不妨设？琢？茁；②若？琢，？茁是任意角，则存在？琢0，？茁0∈[0，2？仔），使得？琢=？琢0+2k1？仔，？茁=？茁0+2k2？仔，其中k1，k2∈Z） 　　教师：任意的两个角你觉得在什么范围内可以方便地在单位圆内显示出两角的大小关系呢？ 　　学生： [0，2？仔）。 　　教师：回答得很好。那么两个角的大小对他们差的余弦值有没有影响？ 　　学生：没有，因为cos（？琢-？茁）=cos（？茁-？琢）。 　　教师：非常好，试一试能否类比刚才15°，75°角的方法得到cos（？琢-？茁）=cos？琢cos？茁+sin？琢sin？茁。 　　（学生尝试得出结论） 　　教师：但是角？琢，？茁是任意角，如何把刚才的结论推广到任意角的范围呢？ 　　学生：若？琢，？茁是任意角，则存在？琢0，？茁0∈[0，2？仔），使得？琢=？琢0+2k1？仔，？茁=？茁0+2k2？仔，其中k1，k2∈Z，cos（？琢-？茁）=cos（？琢0-？茁0）最终得出结论：对任意角？琢，？茁，有cos（？琢-？茁）=cos？琢cos？茁+sin？琢sin？茁成立。 　　（三）利用已知结论，探究两角和的余弦公式 　　教师：能否利用刚才推出的两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式呢？ 　　（学生思考，探究推导） 　　学生：cos（？琢+？茁）=cos[？琢-（-？茁）] 　　（四）巩固延伸，拓展应用 　　例1：利用两角和（差）的余弦公式，求 　　（1）cos15° 　　（2）cos（■+？兹）+cos（■-？兹） 　　目的：正用公式，解决前面不能解决的问题。 　　例2：化简 　　（1）cos24°cos36°-sin24°sin36° 　　（2）sin25°cos115°-sin65°sin115° 　　目的：逆用公式，体会数学学习中的灵活性。 　　三、案例反思 　　（一）设置的问题要具有启发性、层次性、激励性、体验性 　　“问题是数学的心脏。”有效的问题设置至少