13圆锥曲线与方程.docVIP

(2013，山东，理11)抛物线C1：y＝(p＞0)的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝(　　)． A． B． C． D．答案：D 解析：设M，，故在M点处的切线的斜率为，故M.由题意又可知抛物线的焦点为，双曲线右焦点为(2,0)，且，，(2,0)三点共线，可求得p＝，故选D.(2013，山东，理22)(本小题满分13分)椭圆C：(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1. (1)求椭圆C的方程； (2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2.设F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围； (3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点．设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2.若k≠0，试证明为定值，并求出这个定值． (1)解：由于c2＝a2－b2，将x＝－c代入椭圆方程， 得， 由题意知，即a＝2b2. 又，所以a＝2，b＝1. 所以椭圆C的方程为. (2)解法一：设P(x0，y0)(y0≠0)． 又F1(，0)，F2(，0)， 所以直线PF1，PF2的方程分别为 lPF1：y0x－(x0＋)y＋y0＝0， lPF2：y0x－(x0－)y－y0＝0. 由题意知＝. 由于点P在椭圆上， 所以， 所以. 因为＜m＜，－2＜x0＜2， 可得. 所以m＝. 因此. 解法二：设P(x0，y0)． 当0≤x0＜2时， 当时，直线PF2的斜率不存在，易知P或P. 若P，则直线PF1的方程为. 由题意得， 因为＜m＜， 所以. 若P，同理可得. 当x0≠时， 设直线PF1，PF2的方程分别为y＝k1(x＋)，y＝k2(x－)． 由题意知， 所以. 因为， 并且k1＝，k2＝， 所以 ＝， 即. 因为为＜m＜，0≤x0＜2且x0≠， 所以. 整理得m＝， 故0≤m＜且m≠. 综合可得0≤m＜. 当－2＜x0＜0时，同理可得＜m＜0. 综上所述，m的取值范围是. (3)设P(x0，y0)(y0≠0)，则直线l的方程为y－y0＝k(x－x0)． 联立 整理得(1＋4k2)x2＋8(ky0－k2x0)x＋4(－2kx0y0＋－1)＝0. 由题意Δ＝0， 即＋2x0y0k＋1－＝0. 又， 所以＋8x0y0k＋＝0， 故k＝. 由(2)知， 所以 ＝， 因此为定值，这个定值为－8.(2012，山东，理1)已知椭圆C：的离心率为，双曲线x2-y2＝1答案：D 解析：双曲线x2-y2＝1，代入可得，则，又由可得，则， 于是。椭圆方程为，答案应选D。 (2012，山东，理1)在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为。 （Ⅰ）求抛物线C的方程； （Ⅱ）是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由； （Ⅲ）若点M的横坐标为，直线l：y=kx+与抛物线C有两个不同的交点A，B，l与圆Q有两个不同的交点D，E，求当≤k≤2时，的最小值。 解析：（Ⅰ）F抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点F，设M，，由题意可知，则点Q到抛物线C的准线的距离为，解得，于是抛物线C的方程为. （Ⅱ）假设存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M， 而，，， ，， 由可得，，则， 即，解得，点M的坐标为.[来源:] （Ⅲ）若点M的横坐标为，则点M，。 由可得，设， 圆， ， 于是，令 ， 设，， 当时，， 即当时. 故当时，. (2011，山东，理)已知双曲线的两条渐近线均和圆C:相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为 (A) (B) (C) (D) 双曲线的方程圆的方程【答案】A 【解析】由圆C:得:,因为双曲线的右焦点为圆C的圆心(3,0),所以c=3,又双曲线的两条渐近线均和圆C相切,所以,即,又因为c=3,所以b=2,即,所以该双曲线的方程为,故选A.曲线圆的(2011，山东，理)已知动直线与椭圆C: 交于P、Q两不同点，且△OPQ的面积=,其中O为坐标原点. （Ⅰ）证明和均为定值; （Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求的最大值； （Ⅲ）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得?若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由. 【解析】， 由在椭圆上，则， 而，则， 于是，； 当直线l的斜率存在，设直线l为y=kx+m， 代入可得， 即，△＞0， 即， ， ， ， ， 则，满足△＞0， ， ； 综上可知，。 （Ⅱ）当直线l的斜率不存在