附加题教材数学归纳法.doc

高三理科班数学附加题--数学归纳法 、数学归纳法的原理 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0时命题成立； （2）（归纳递推）假设n=k()时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。 注意： （1）这两步步骤缺一不可，只完成步骤（1）而缺少步骤（2），就作出判断可能得出不正确的结论。因为单靠步骤（1），无法递推上去，即n取n0以后的数时命题是否正确，我们无法判定。同样，只有步骤（2）而缺少步骤（1），也可能得出不正确的结论。缺少步骤（1）这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤（2）也就没有意义了。 （2）用数学归纳法证明命题时，难点和关键都在第二步，而在这一步主要在于合理运用归纳假设，结合已知条件和其他数学知识，证明“当n=k+1时命题成立”， 而不是直接代入，否则 n=k+1时也成假设了，命题并没有得到证明。 （3）用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析。 a、b,使得等式: 对一切正整数n都成立,并证明你的结论. 解:令n=1,2,并整理得 以下用数学归纳法证明: (1)当n=1时,由上面解法知结论正确. (2)假设当n=k时结论正确,即: 则当n=k+1时, 故当n=k+1时,结论也成立. 根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论都成立. 例2、已知正数数列{an}中,前n项和为sn,且用数学归纳法证明: :(1)当n=1时, =1,结论成立. (2)假设当n=k时,结论成立,即 则当n=k+1时, 故当n=k+1时,结论也成立. 根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论都成立. 例3、用数学归纳法证明:当n为正偶数时,xn-yn能被x+y整除. 证:(1)当n=2时,x2-y2=(x+y)(x-y),即能被x+y整除,故命题成立. (2)n=2k时,命题成立,即x2k-y2k能被x+y整除. 则当n=2k+2时,有 都能被x+y整除 故x2k+2-y2k+2能被x+y整除,即当n=2k+2时命题成立. 由(1)、(2)知原命题对一切正偶数均成立. 例4、用数学归纳法证明: 能被8整除. 证:(1)当n=1时,A1=5+2+1=8,命题显然成立. (2)假设当n=k时,Ak能被8整除,即是8. 那么: 因为Ak是8的倍数,3k-1+1是偶数即4(3k-1+1)也是8的倍数,所以Ak+1也是8的倍数,即当n=k+1时,命题成立. 由(1)、(2)知对一切正整数n, An能被8整除. 例5、求证:x3n-1+x3n-2+1能被x2+x+1整除. 证:(1)当n=1时, x3n-1+x3n-2+1= x2+x+1,从而命题成立. (2)假设当n=k时命题成立,即x3k-1+x3k-2+1能被x2+x+1整除 则当n=k+1时,x3(k+1)-1+x3(k+1)-2+1=x3k+2+x3k+1+1 =x3(x3k-1+x3k-2+1)+x3+1 = x3(x3k-1+x3k-2+1)+(x+1)(x2+x+1) 因为x3k-1+x3k-2+1、x2+x+1都能被x2+x+1整除,所以上式右边能被x2+x+1整除. 即当n=k+1时,命题成立. 根据(1)、(2)知,对一切正整数n,命题成立. 例6、用数学归纳法证明: 证:(1)当n=2时, 左边= 不等式成立. (2)n=k(k≥2)时不等式成立,即有: 则当n=k+1时,我们有: 即当n=k+1时,不等式也成立. 由(1)、(2)原不等式对一切都成立. 例7、证明不等式: 证:(1)当n=1时,左边=1,右边=2, 不等式显然成立. (2)假设当n=k时不等式成立,即有: 则当n=k+1时,我们有: 即当n=k+1时,不等式也成立. 根据(1)、(2)可知,原不等式对一切正整数都 成立. 例8、求证: 证:(1)当n=1时,左边= ,右边=,由于故不等式成立. (2)n=k()时命题成立,即 则当n=k+1时, 即当n=k+1时,命题成立. 由(1)、(2)原不等式对一切都成立. 例9、已知x (1，x(0，nN，n2．x)n1+nx 证明： （1）当n=2时，左＝(1＋x)2=1+2x+x2 ∵ x(0， 1+2x+x21+2x=右 ∴n=1时不等式成立 （2）假设n=k时，不等式成立，即 (1+x)k1+kx 当n=k+1时，因为x (1 ，x0， 左边=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2；右边=1+