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微积分与电场 组长：陈玉书 组员：江源 陈佳慧 张学斐 张春宜 周天泽 蒋蕾 廖新浴(按姓氏笔画序) 指导教师：苏德矿 班级：求是科学班（食品安全与营养） 引言 微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的，是与实际应用联系着发展起来的它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学个分支中，有越来越广泛的应用。 连续分布电荷的电场强度 根据场强叠加原理，任何带电体都可以看成是许多电荷元dq的集合，在电场中任一点P处，每一电荷元dq在P点产生的场强为： 而整个带电体在P点的场强为： 实际带电体电荷连续分布的形式大致有以下三种： 体分布：dq=ρdV；面分布：dq=σds；线分布：dq=λdl；对应的场强公式利用积分即可轻松求得。 高斯定理 德国数学家和物理学家高斯（K.F.Gauss）曾从理论上证明，静电场中任一闭合曲面上所通过的电通量与这一闭合曲面内所包围的电荷存在着确定的量值关系，这一关系被称为高斯定理： 对于连续分布电荷，高斯定理则写为： 在用库伦定律和电场的叠加原理加以证明高斯定理时需用到曲面积分的相关知识，一起来看： 考虑一个点电荷q的电场中，有一闭合曲面S，在S上取一面元dS，设r是该电荷到面元的距离，n是面元的外法线单位矢量，则通过该面元的电通量： θ是场强E的方向与面元dS法向n之间的夹角。应用立体角dΩ的概念： dΩ=cosθdS/r2=dS’/r2 则 若q在S内，则可证明： 因此，对整个闭合曲面S，电通量为： 上式是对单个点电荷的高斯定理。根据场强的叠加原理，上述结果可推广至任意带电系统的静电场，从而得到高斯定理的一般表达式。 在包围点电荷q的闭合曲面S内，以q为中心，作半径为R（设R为单位长度，即R=1）的一个球面S0.令立体角dΩ在闭合曲面S和球面S0上截出的面积元分别为dS、dS0，则有dΩ=cosθdS/r2=dS0/R2。因R为单位长度，故dS0的数值就是立体角dΩ的数值，而面积元dS0对整个球面S0的积分就是球面S0的面积： 对于静止电荷的电场，库伦定律和高斯定律等价。对于运动电荷的电场，库伦定律不在正确，而高斯定律任然有效。对于牛顿引力场来说，具有与静电场相似的性质，因此只要以质量密度代替电荷密度，高斯定律在引力场中也成立。 给予空间的某个区域内，任意位置的电场。原则上，应用高斯定律，可以很容易地计算出电荷的分布。只要积分电场于任意区域的表面，再乘以真空电容率，就可以得到那区域内的电荷数量。 由上面的几点我们可以看到，微积分及其思想在许多物理定律等的证明和应用中的不可或缺的作用，并通过实际问题的分析加深了对微积分技巧的理解，熟练了对其的使用。