归纳法-明诚中学.pdf

高雄市明誠中學 高一數學複習測驗 日期：95.12.06 範 班級 普一 班 姓 2-3 數學歸納法 圍 座號 名 一、填充題(每題10 分) n n 1. 設c為正整數，若不論n為任何正整數，10 + 3 ．4 +c都是 9 的倍數，則c被 9 除的餘數 必為 。 【解答】5 【詳解】 n n n n 10 + 3 ．4 +c (9 + 1) + 3 (3 + 1) +c (9p + 1) + 3(3k +1) +c 9(p + m )+ (1 + 3 +c) 9(p + m ) + (4 +c) ，其中p 、m ∈N 依題意 9 | (10n + 3 ．4n +c) ⇔ 9 | [9(p + m )+ (4 +c)] ⇔ 9 | (4 +c) ⇔ c 9k + 5 即c被 9 除的餘數必為 5 2 2. 一個邊長為n的大正方形中，共有n 個單位正方形，如果每 一個單位正方形的邊都恰有一根火柴棒 ，而此大正方形共用 了a 根火柴棒，那麼a −a 。 n n + 1 n 【解答】4n + 4 【詳解】 如上圖：當n 1 時，a1 4 ；當n 2 時，a2 4 + 8 a1 + 4 ．2 12 當n 3 時，a3 12 + 12 a2 + 4 ．3 24 ；當n 4 時，a4 24 + 16 a3 + 4 ．4 40 ，… 當n k + 1 時，ak + 1 ak + 4 (k + 1) ，故推得an + 1 an + 4 (n + 1) 3. 設n ∈N時，我們無法利用數學歸納法證明 2 + 6 + 10 + … + 2(2n − 1) 2n2 + 2 的原因是 。 【解答】n 1 時，此式不成立 2 2 2 2 4. 求 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + … + 30 + 30 之和 。 【解答】9920 【詳解】 2 2 2 原式 (1 + 2 + … + 30) + (1 + 2 + … + 30 ) 1 1 ．30 ．31 + ．30 ．31 ．61 465 + 9455 9920 2 6 二、證明題(每題10 分) 1 1 1 1 n 1. 試用數學歸納法證明： + + + … + 。 2 ．3 3 ．4 4 ．5 (n +1)(n +2) 2(n +2) 【證明】 1 1 1 1 (1) n 1 時，左式 ，右式 ，故n 1 時，此式成立 2 ．3 6 2(1+2) 6 1 1 1