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能量法 BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 能量法 §1 功能原理 §2 卡氏第二定理 §3 余能与卡氏定理 §4 莫尔定理§5 互等定理 §6 虚功原理§7 单位载荷法 P ?L 各种基本变形的变形能 拉压 T T 2、扭转 扭转 横向弯曲的应变能? 纯弯曲 在细长梁的情况下,与剪切相应的变形能通常很小,可以省略不计.只计算弯曲变形能. 外力功： 载荷在相应位移上所作之功。 广义力： 集中力，力偶 广义位移： 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。 功能原理 思考： FN(x) M(x) Fs(x) T(x) dx 组合变形的总应变能能否由各基本变形的应变能叠加，为什么？ 答：能够。 因为各基本变形的应变能不耦合。换句话说，一种基本变形的对应内力在其他基本变形上作的功为零。 组合变形的变形能 1、轴力、扭矩和弯矩各自的变形垂直,相互不做功2、变形能与加载次序无关，位能相互叠加（略掉剪力 的影响） 对于线性弹性体 卡氏第二定理 式中的Fi 和?i分别为广义力和对应的广义位移。 注意： 卡氏第二定理，仅适合于线弹性体。 位移是加力点沿加力方向的广义位移,如果为负，表明广义位移与相应载荷（集中力或集中力偶）方向相反。 当所求位移处无相应广义力时，可在该处“虚加”上广义力，将其看成已知外力，反映在反力和内力方程中，待求过偏导后，再令该“虚加”外力为0。 实际计算时，常采用以下更实用的形式： 例 由两根横截面面积均为A的等直杆组成的平面桁架，在结点B处承受集中力F，如图所示。两杆的材料相同，其弹性模量为E，且均处于线弹性范围内。试按卡氏第二定理，求结点B的水平和铅垂位移。 A B F 45 O C l １　求结点B铅垂位移 由Ｂ点为研究对象，列平衡方程，得： ＡＢ杆的轴力:FN1=Ｆ ＢＣ杆的轴力:FN2= 　　Ｆ A B F 45 O C l 2　求结点B水平位移 在Ｂ点“虚加”外力ＦX，由Ｂ点为研究对象，列平衡方程，得： ＡＢ杆的轴力: FN1=Ｆ+ＦX ＢＣ杆的轴力: FN2= 　　Ｆ A B F 45 O C l ＦＸ 例 用卡氏第二定理求悬臂梁B点的挠度。EI为常数。 例 图示弯曲刚度为EI的等截面开口圆环受一对集中力F作用。环的材料为线弹性的，不计圆环内剪力和轴力对位移的影响。试用卡氏第二定理求圆环的张开位移?和相对转角。 F R F j j R (1-cos ) 思考:横截面有什么内力? 弯距\剪力\轴力 剪力\轴力变形能相对于弯曲较小,可以忽略不记 解： 1、张开位移 F R F j j R (1-cos ) 所以 F R F j j R (1-cos ) 2、相对转角： F R F j j R (1-cos ) Mf Mf 例 图示等截面曲杆(半圆形)位于水平面内，在A点受铅垂力F的作 用，求A点的垂直位移。 A F R 思考:横截面有什么内力? 弯距\剪力\扭距 剪力引起变形能相对于弯曲较小,可以忽略不记 F MN A A F B j T 解： ①求内力 A F R ②变形： 谢谢各位同学这一学期的参与！ 能量法 BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)