一种求解矩阵变换的简单方法.doc

高等代数论文 学院： 理学院 学号班级：数学 0803 姓名： 许 琳 一种求解矩阵变换的简单方法 内容摘要：在化二次型为标准型时需要求出所作的非退化线性替换，本文将探讨怎么只进行行（或者列）变换法求出标准型及非退化线性替换的矩阵。 关键词：二次型 矩阵 初等变换 行变换 通常为了解决问题的方便需将二次型f(x1,x2,…，xn )经过非退化线性替换化为平方和的形式，同时也需要求出所作的非退化线性替换X=CY，即需要求得矩阵C；由二次型引入的矩阵合同概念，也需要知道矩阵C，使得B=CTAC。一般在求解C时，书本上给出了三种做法：配方法，矩阵初等变换法和正交矩阵法。由于配方法和正交矩阵法计算量大，一般在考试和教学中多采用矩阵初等变换法。但当我们采用初等变换法进行行列同时变换时往往感觉可以省掉一次运算，但很多时候又会出错。本文将从初等变换法的原理入手，仔细分析其原理，并找到可以省略的方法，及省略后的理论根据。以后我们在进行此类运算时可以只考虑行（或列）变换，省去列（或行）变换。省去一步后不仅节省了时间，并且减少了出错的可能性。仔细分析其原理也有助于我们了解行变换和初等变换法的本质，以便我们更好的运用它们。虽然它不具备普遍性，但是符合我们进行行变换的习惯，所以有很大实际意义，注意了其变换的要求后，也避免了我们进行行列同时变换时想当然省略一些步骤而产生的错误。 由于矩阵C是非退化的，故C可由一些列初等矩阵的乘积来表示，即C=P1P2…PS。再由B=CTAC=(P1P2…PS)TA(P1P2…PS)=PST…P2TP1TAP1P2…PS= PST…(P2T(P1TAP1)P2)…PS，可知若B是对角矩阵，则可以将A所对应的二次型化为标准型。我们知道左乘初等矩阵相当于是进行行变换，右乘初等矩阵相当于进行列变换。那么左乘PT后，再右乘P是如何变换的呢？下面就一般的矩阵进行探讨。 初等行变换只有三种形式，因此初等矩阵也只有三种形式，我们可以分别进行探讨。 （注：以下i和j均为1，2，…，n） 若P是有单位矩阵E经过第i行与第j行互换得到的，即 ； （2）若P是由单位阵E经过第i行乘一常数k 得到的，即 （3）若P是由单位阵E经过将第j行的k倍加到第i行得到的，即 则 有以上可知，对任意的矩阵A右乘一个初等矩阵，相当于对A进行列变换，再左乘该初等矩阵的转置矩阵相当于进行同步的行变换。因此，若经过S次先左乘初等矩阵的转置（P0T）同时再右乘对应的初等矩阵P0后A变为对角阵，则所得到的对角阵对角线上的元素即为化二次型化为标准型后各项的系数。同样的若先右乘初等矩阵P0，再左乘对应的初等矩阵的转置（P0T），同样也可以得到化二次型为标准型后的系数。 有以上的分析可以知道初等变换法的原理 ，同时也可以知道初等变换法的操作步骤.例如： 若要将上式化为实系数和复系数的规范型，可以用初等变换法继续变换，例如： 由以上可以很容易得出所用的非退化线性替换的矩阵C，但应该注意的是不能想当然的省去步骤。 理论探讨 由以上例题可知列变换只是把对角线右边元素变为零，并且其余元素不变。可是省去这些步骤是很多时候会出错，并且似乎还没有理论根据，下面将具体探讨一下。 （三） 理论依据 由以上讨论，不难发现，仅仅进行行变换是可以的。但是这样做似乎还是没有什么理论依据，但是上边的做法确确实实是存在的。仔细研究就会发现，上述方法是把a11下方的元素化为零才有上述结果。刚好这也是我们通常化简矩阵的方法，所以有很大实际用处。 同时，有以上可以得出一个命题： 对于对称矩阵A，r(A)=r。若用行变换依次将每列对角线下的元素变为零，且变完后对角线上元素不为零，则可直接令对角线右边的元素为零，就可以只通过行变换，求得所要的对角阵，。 同时也可以做如下证明： n=1时显然成立； 假设对于级数低于n的矩阵结论成立，则对于n级矩阵A，由上面的证明，经过一次变换后若，则根据假设对剩下n-1级矩阵可以通过行变换化为对角阵。 以上命题可知，只进行行变换只适合于对角线元素不为零的情况。同时由以上分析可知，只进行行变换然后令对角线右边的元素化为零时，相当于进行了列变换，所以若a11等于零则可以通过先变行再变列，即可得到所要的对角阵。例如： 解： 由以上可以很容易写出所要求的标准型、规范型和所用的非退化线性替换。由例三的两种解法也可以看出规范型唯一，但所用的非退化线性替换可以不唯一。 当然例1也可以做如下化简： （四）应该注意的问题 有以上不难看出，若将对角线下的元素化为零，则可以省去列变换，因此可以省去将近一半的运算量。又由于我们进行行变换化简矩阵时，通常总是依次将对角线以下的元素化为零，所以，这种方法有它很实际的用途。经过本文的探讨，以后我们可以大胆的将列变换省去