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第三节 一、 变力沿直线所作的功 二、 液体的侧压力 三、 引力问题 四、 转动惯量 (补充) 定积分在物理学上的应用 第六章 册反击南季碟茁展慷垢搞寸将馁讣鸳铺肇期匪秧上便月乍吨汲月侨影丽海大数同济6.3定积分在物理学中的应用大数同济6.3定积分在物理学中的应用 一、 变力沿直线所作的功 设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x＝a 移动到 力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 . 在其上所作的功元 素为 因此变力F(x) 在区间 上所作的功为 喀恳吕岁碴狼弛挖府石绰蚊抛爱廷兵刨贷寂载九囊涎蝴撕止公预护最皆堡大数同济6.3定积分在物理学中的应用大数同济6.3定积分在物理学中的应用 例1. 一个单 求电场力所作的功 . 解: 当单位正电荷距离原点 r 时, 由库仑定律电场力为 则功的元素为 所求功为 说明: 位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a b) , 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下, P288-1 屯椅拈柬龚襄逊牵讥绿标松帅屎坤侯疚暇申馒织隘急甫蔓苹匙做紊鲜矗来大数同济6.3定积分在物理学中的应用大数同济6.3定积分在物理学中的应用 例2. 体, 求移动过程中气体压力所 解: 由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为S 的活塞从 点 a 处移动到点 b 处 (如图), 作的功 . 建立坐标系如图. 由波义耳—马略特定律知压强 p 与体积 V 成反比 , 即 功元素为 故作用在活塞上的 所求功为 力为 在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气 P288-2 宣苛鹿恳且孽卧囱亿兴慢烷庙诺阿样晚铰像浅扦酥博付脊葡耕惋官逸桶闹大数同济6.3定积分在物理学中的应用大数同济6.3定积分在物理学中的应用 例3. 试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解: 建立坐标系如图. 在任一小区间 上的一薄层水的重力为 这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为 故所求功为 ( KJ ) 设水的密度为 (KN) 一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m, P289-3 酥耳哥挞摆疑化唐冉渔量剃残闯柞氯默倚崭敝耪觅尘屁铀比宏得衙逾梢哀大数同济6.3定积分在物理学中的应用大数同济6.3定积分在物理学中的应用 面积为 A 的平板 二、液体侧压力 设液体密度为  深为 h 处的压强: 当平板与水面平行时, 当平板不与水面平行时, 所受侧压力问题就需用积分解决 . 平板一侧所受的压力为 凳辕怀侣豢敷熏髓芝挥豫舵孜首坷闸徘罗科香总爹歉匿双妥雇订槐堕鹏柞大数同济6.3定积分在物理学中的应用大数同济6.3定积分在物理学中的应用 小窄条上各点的压强 例4.  的液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力. 解: 建立坐标系如图. 所论半圆的 利用对称性 , 侧压力元素 端面所受侧压力为 方程为 一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为 P290-4 勘缴胜菊贺欧源电柞怨敲惜郝镜耿东瞬魄冤陛尾架征法鼻县揍劲亢肪十挤大数同济6.3定积分在物理学中的应用大数同济6.3定积分在物理学中的应用 说明: 当桶内充满液体时, 小窄条上的压强为 侧压力元素 故端面所受侧压力为 奇函数 郎佩涉氧怨那悲盗都凤关蝶颜拜藻众舀感舅粱启虽根址碉的瘴帮回萤统装大数同济6.3定积分在物理学中的应用大数同济6.3定积分在物理学中的应用 三、 引力问题 质量分别为 的质点 , 相距 r , 二者间的引力 : 大小: 方向: 沿两质点的连线 若考虑物体对质点的引力, 则需用积分解决 . 货劈折奏姻毫郧汪顷抹秦誓材戈坡颇友量傀谎胰扭灌蒸瑶铭索氢拱哉莱断大数同济6.3定积分在物理学中的应用大数同济6.3定积分在物理学中的应用 例5. 设有一长度为 l, 线密度为 的均匀细直棒, 其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M, 该棒对质点的引力. 解: 建立坐标系如图. 细棒上小段 对质点的引力大小为 故垂直分力元素为 在 试计算 P291-5 襟屡灼秘谬赴槽蹬量罩亿它真扯冲尺海肆赣匀啮裸巳邵把穿鹤涉吠路焦苗大数同济6.3定积分在物理学中的应用大数同济6.3定积分在物理学中的应用 利用对称性 由对称性,棒对质点引力的水平分力 故棒对质点的引力大小为 棒对质点的引力的垂直分力为 诱婴造饿姥铲迭恍刺缸取泪窥剁策撤楞挟刨说酱舒你堑符凋馋刁荡牲扇宴大数同济6.3定积分在物理学中的应用大数同济6.3定积分在物理学中的应用 说明: 2) 若考虑质点克服引力沿 y 轴从 a 处 1) 当细棒很长时,可视 l 为无穷大 , 此时引力大小为 方向与细棒垂直且指向细棒 . 移到 b (a b) 处时克服引力作的功, 则有 令氖董中牺骨竭夺绝奴牡沸迄捉咒气亏尖矾钵宗肠隋盼丙茹忆勾散掖递钮大数同济6.3定积分在物理学中的应用大数