计算物理1本征问题的求解.PDFVIP

计算物理 王延颋 2016 年2 月17 日 1. 本征问题的求解 此章比较全面地介绍数值求解本征问题的基本概念和方法。 1.1. 基本概念 一个N ´N 的矩阵A 总会有本征矢量（eigenvector ）x 和对应的本征值（eigenvalue ）l 满足 A ×x =lx (1.1) 显然一个本征矢量的倍数也满足上式，但是并不认为是不同的本征矢量，而0 也不认为是一 个本征矢量。显然上式等同于 det A -lI = 0 (1.2) 其中I 是单位矩阵。求解式(1.2)就可以得到A 的N 个本征值，其中相同的本征值被认为是 简并 （degenerate ）的。一个本征值会有一个对应的本征矢量。直接求解该方程组的根的做 法效率很低，需要专门用于求解本征问题的数值方法。 对称矩阵 （symmetric matrix ）满足 A = AT a = a (1.3) ij ji 厄密矩阵 （Hermitian matrix ）满足 A = A† a = a* (1.4) ij ji 正交矩阵 （orthogonal matrix ）满足 T T A ×A = A ×A =I (1.5) 1 单位矩阵 （unitary matrix ）满足 † † (1.6) A ×A =A ×A =I 正态矩阵 （normal matrix ）满足 † † (1.7) A ×A =A ×A 对于实数矩阵，厄密等同于对称，单位等同于正交，二者都是正态矩阵。 复数矩阵的本征值一般都是复数，而厄密矩阵的本征值都是实数，而不对称的实数矩阵 会有成对出现的复数本征值。非简并的正态矩阵的本征矢量是完备正交的，而简并的正态矩 阵中的简并本征值所对应的本征矢量可以用其它本征矢量的线性叠加代替。 式(1.1)定义的本征矢量称为右本征矢量，相应地可以定义左本征矢量满足 x ×A =lx (1.8) 显然每个左本征矢量都是A 的转置矩阵的某个右本征矢量的转置矩阵，并且A 的左本征值 和右本征值相等。如果A 是对称矩阵，则左右本征矢量互为转置。如果A 是厄密矩阵，则 左右本征矢量互为厄密共轭。 对于更一般的不对称情况，令矩阵X 的每一列是右本征矢量，X 的每一行是左本征 R L 矢