高中数学选修4-1几何选讲—平行线等分线段定理.ppt

1．1　平行线等分线段定理 情景一．已知线段AB，在线段AB上求作一点P，使AP＝AB. 解析：如图所示． ①过A作射线AM； ②在AM上以任意长截取AE＝EG； ③连接GB，过E作EP∥GB，交AB于P. 则点P为所求的点． 1.1平行线等分线段定理 题型一 做线段的等分点 　情景二： 已知线段AB，求作AB的五等分点． 解析：如图所示 (1)作射线AM. (2)在射线AM上截取AA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5. (3)连接A5B，分别过A1、A2、A3、A4作A5B的平行线A1C、A2D、A3E、A4F，分别交AB于C、D、E、F，那么 C、D、E、F就是所求作的线段AB的五等分点． （一）1.平行线等分线段定理： 如果一组________在一条直线上截得的线段相等，那么在其他 直线上截得的线段也相等． 平行线 变式1：如图所示，l1∥l2∥l3，直线AB与l1、l2、l3相交于点A、E、B， 直线CD与l1、l2、l3相交于点C、E、D，AE＝EB，则有(　　) A．AE＝CE B．BE＝DE C．CE＝DE D．CE＞DE 例1： 下列用平行线等分线段的图形中，错误的是(　　) C C 3．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线必_______ 另一腰． 2．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必_______ 第三边． 平分 平分 如图，AB∥CD∥EF，且AO＝OD＝DF，BC＝6，则BE为(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 例2： 变式2：如图，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点M是AD的中点， CM交AB于点P，DN∥CP.若AB＝6 cm，则AP＝________； 若PM＝1 cm，则PC＝________. A 2 4 题型二　证明线段间的问题 例3 如图所示，已知在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD于E，EF∥BC交AB于F，求证AF＝BF. 分析：延长AE交BC于M，要证AF＝BF，因为EF∥BC，所以需证明E是AM的中点，由于CD平分∠ACB，所以∠ACE＝∠ECM，因为AE⊥CD，所以△ACE≌△MCE，即AE＝ME. 题型二　证明线段间的问题 例3 如图所示，已知在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD于E，EF∥BC交AB于F，求证AF＝BF. 　证明：延长AE交BC于M. ∵CD平分∠ACB，AE⊥CD于E， ∴在△ACE和△MCE中， ∠AEC＝∠CEM，CE＝CE， ∠ACD＝∠MCD， ∴△ACE≌△MCE， ∴AE＝EM，即E是AM的中点． 又在△ABM中，EF∥BM，AE＝EM， ∴F是AB的中点，∴AF＝BF. 题型三 求线段的长　 点评：当题中出现中点条件时，常过中点作平行线，构造平分线等分线段定理及推论的基本图形解题． 题型三 求线段的长　 点评：当题中出现中点条件时，常过中点作平行线，构造平分线等分线段定理及推论的基本图形解题． ?变式训练 3．如图所示，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于O，OE∥AB交BC于E，AD＝6，求BE的长． 拓展思考　如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E，F分别在AC，BC上，且CE＝CF，EM⊥AF交AB于M，CN⊥AF交AB于N，求证MN＝NB. 【解】延长AF，过B作BD∥NC交AF的延长线于D. ∵EM⊥AF，CN⊥AF，∴EM∥CN. 又BD∥CN，∴BD∥CN∥ME， ∴BN＝NM. 以上是某同学的解法，判断对错。 若错，请写出正确解法。 分析：“错解”中只说明了BD∥CN∥ME， 而相邻两平行直线间的距离是否相等未说明， 就认为BN＝NM，这是不对的． 拓展思考　如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E，F分别在AC，BC上，且CE＝CF，EM⊥AF交AB于M，CN⊥AF交AB于N，求证MN＝NB. 【正解】如图所示，延长线ME交BC的延长线于点P， 由题意可得Rt△EPC≌Rt△FAC，∴PC＝AC＝BC. 又∵EM⊥AF，CN⊥AF，∴PM∥CN. 由题意知点C是BP的中点，∴点N是MB的中点，∴MN＝NB.