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* 在课堂教学中如何渗透 数学思想方法 南京市第一中学　　何炳均 　　《课程标准》指出，要让不同的人在数学上得到不同的发展，其中最重要的就是学生数学思想方法的形成与发展。 　　“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，唯有深深铭记在头脑中的是数学的精神、数学的思想、研究方法和着眼点等。这些都随时随地发生作用，使他们终生受益。”（日本数学家米山国藏语）。 　　所谓数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，是对数学知识和数学方法的进一步抽象和概括，它直接支配着数学的实践活动，属于对数学规律的理性认识的范畴。 　　所谓数学方法， 是指某一数学活动过程的途径、程序、手段，它具有过程性、层次性和可操作性等特点。 一、对概念的理解 　　数学思想是数学方法的灵魂，数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段，同一数学成果，当用它去解决别的问题时，则称为方法；当论及它在数学体系中的价值和意义时，则称之为思想。 二、数学教学应渗透的思想方法 中学数学中的主要思想： 　1.分类讨论思想， 　2.数形结合思想， 　3.函数与方程思想， 　4.化归与转化思想。 1、分类讨论思想 分类讨论是根据教学对象的本质属性将其划分为不同种类，即根据教学对象的共同性与差异性，把具有相同属性的归入一类，把具有不同属性的归入另一类。分类是数学发现的重要手段。在教学中，如果对学过的知识恰当地进行分类，就可以使大量纷繁的知识具有条理性。 由数学概念引起的分类讨论； (2) 由数学定理、性质、公式的限制条件引起的分类讨论； (3) 由图形的位置和大小的不确定性而引起的分类讨论； (4) 由数学式子的变形所需要的限制条件引起的分类讨论； (5)对于含有参数的问题要对参数的允许值进行全面的分类讨论。等等 对分类讨论思想的考查, 是有没有分类的意识,遇到应该分类的情况,是否想到要分类.,有哪些情况需要分类呢？ 例1：如图，在Rt△ABC中∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到点B、C），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E． ⑴求证：△ABD∽△DCE； ⑵设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； ⑶当△ADE为等腰三角形时，求AE的长． A B C D E 例2:已知一次函数 与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在x轴上，且∠ACB=120°； ⑴求BC的关系式； x y A B C O ⑵以点P为一个顶点的三角形与△ABC相似，且与△ABC有一个公共角和一条公共边，求点P的坐标. 2、数形结合思想 华罗庚先生说过：“数与形是两依倚,焉能分作两边飞。数缺形时少直观, 形少数时难入微。”，“切莫忘,几何代数统一体,永远联系,切莫分离。” 一般地，人们把代数称为“数”而把几何称为“形”，数与形表面看是相互独立，其实在一定条件下它们可以相互转化，数量问题可以转化为图形问题，图形问题也可以转化为数量问题。 例1：已知关于x的不等式组 的整数解共有2个，则的a取值范围是___________． -1≤a0 · · · · ０ ２ １ -１ 例2：如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=5，DE=1，BD=8；设CD=x． (1)用含x的代数式表示AC+CE的长； (2)请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小? (3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式　　　　　　　　　的最小值． 3 x 2 12-x 最小值是13 例3：已知 3x+4y=12，且x≥０，y≥０， 求使M(x,y)=x2+y2-12x-2y+37取得最大值与最小值的点. 约束条件: 3x+4y=12，且x≥０，y≥０，所表示的图形是线段AB，x的取值范围是［０，４］，M(x,y)＝（x-6)2+(y-1)2. x y A(0,3) B(4,0) O Q(6,1) P(x,y) 设P(x,y)是线段AB上的动点,Q(6,1)为定点，M(x,y)为动点P与定点Q之间距离的平方，从图上可以看出A（０，３），B（４，０）分别是使M(x,y)取得最大值和最小值的点． 3、函数与方程思想 　　就是用函数的观点、方法研究问题，将非函数问题转化为函数问题，通过对函数的研究，使问题得以解决。通常是这样进行的：将问题转化为函数问题，建立函数关系，研究这个函数，得出相应的结论。中学数学中，方程、数列、不等式等问题都可利用函数思想得以简解；几何量的变化问题也可