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§2.3 连续型随机变量及其分布 一. 连续型随机变量的概率分布 二. 三种常用分布 r .v of the Continuous type and Distribution Distribution density Exponential Distribution Uniform Distribution 记为 Symmetry Standard Normal Distribution Unusual 一. 连续型随机变量及其分布 定义2-4 注1：连续型的分布函数是连续函数。 注2：概率密度具有如下性质： （1）； （2）； （3）； 若的分布函数可表示成 （2-7） 其中为一非负可积函数，则称为连续型，称为的概率密度(或概率分布、分布密度)。 （4）若在点连续，则。 由（2）知，介于曲 线与轴之间的 面积等于1，如图2-3。 图2-3 由（3）知，落在 上的概率 等于如图 2-3所示阴影部分面积。 由（4）知 （2-8） 由（2-8）式知，若不计高阶无穷小，则有 即落在小区间上的概率近似等于。 注3：若是连续型，则,。 事实上 由的连续性知，故 ,即。 结论：若是不可能事件，则，反之不然。 例2-6 设具有概率密度 试确定常数并求及分布函数。 解：由于， 即， 解得, 于是的概率密度为 当时，； 当时， 故随机变量的分布函数为 或 一般地,若随机变量的概率密度 其中为常数，则称服从参数为的指数分布。 例2-7设具有概率密度 求分布函数。 解：当时，； 当时， 当时 当时， 故随机变量的分布函数为 几种常用分布： （1）均匀分布:设随机变量在有限区间内取值,且其分布密度为,则称在有限区间上服从均匀分布,记为。 其分布函数为（自行验证） 例2-8 设电阻值是,且均匀分布在欧姆之间，求的概率密度及落在欧姆之间的概率。 解：依题意，的概率密度为 即 （2）指数分布: 。 （3）正态分布 若随机变量的分布密度为 （2-9） 其中为常数，则称服从参数为的正态分布或高斯分布，记为。 显然满足： （非负性） （归一性） （归一性） 事实上,作变换,则 （） 或 及其图形有如下性质： 的图形关于对称； 当时，为最大值； 以轴为渐近 线，处存在拐点， 其分布函数为 特别地，当时，图形关于对称， 则密度函数变为 Sheet3 Sheet2 Sheet1 图表1 -4.00 8.76E-03 1.00 2.00 -3.00 .03 1.00 2.00 -2.50 .04 1.00 2.00 -2.00 .06 1.00 2.00 -1.50 .09 1.00 2.00 -1.00 .12 1.00 2.00 -.50 .15 1.00 2.00 .00 .18 1.00 2.00 .50 .19 1.00 2.00 1.00 .20 1.00 2.00 1.50 .19 1.00 2.00 2.00 .18 1.00 2.00 2.50 .15 1.00 2.00 3.00 .12 1.00 2.00 3.50 .09 1.00 2.00 4.00 .06 1.00 2.00 4.50 .04 1.00 2.00 5.00 .03 1.00 2.00 6.00 8.76E-03 1.00 2.00 x f(x) N(1,4) x f(x) N(1,4) x f(x) N(1,4) -4.00 -3.00 -2.50 -2.00 -1.50 -1.00 -.50 .00 .50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00 6.00 8