4三重积分(直角坐标)资料.ppt

1 x+ y=1 y o z x 1 z=xy . 例4. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 画出立体图做三重积分 z =0 1 x+ y=1 o z x 1 y z=xy . 例4. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 1 z =0 o z x x+ y=1 y ? 。 。 z=xy . 例4. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 Dxy: z = 0 4 4 0 y x 。 。 Dxy 例5. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 不画立体图做三重积分 y 1 4 x+ y = 4 x = 0 x z o . 例5. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 画出立体图做三重积分 y 1 4 x+ y = 4 x z o 1 . 例5. 取第一卦限部分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 4 x+ y = 4 y = 0 x y z ? . D . . 例5. o 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * 第三节 一、三重积分的概念 二、三重积分的计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三重积分 1. 利用直角坐标计算三重积分 2. 利用柱坐标计算三重积分 3. 利用球坐标计算三重积分 平面薄片的质量（若面密度为常数，质量=面密度·面积） 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D , 计算该薄片的质量 M . 度为 则平面薄板的质量: 其面密 复习二重积分中 一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用 ? 引例: 设在空间有限闭区域 ? 内分布着某种不均匀的 物质, 求分布在 ? 内的物质的 可得 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 解决方法: 质量 M . 密度函数为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义. 设 存在, 称为体积元素, 若对 ? 作任意分割: 任意取点 则称此极限为函数 在?上的三重积分. 在直角坐标系下常写作 三重积分的性质与二重积分相似. 性质: 例如 下列“乘 中值定理. 在有界闭域 ? 上连续, 则存在 使得 V 为? 的 体积, 积和式” 极限 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、三重积分的计算 1. 利用直角坐标计算三重积分 方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法2 . 截面法 (“先二后一”) 方法3 . 三次积分法 先假设连续函数 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算 最后, 推广到一般可积函数的积分计算. 的密度函数 , 方法: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 无论那种方法都要将三重积分化为三次积分， 当被积函数在积分域上变号时, 因为 非负函数 根据重积分性质仍可用下面介绍的方法计算. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 方法2. 截面法 (“先二后一”) 为底, d z 为高的柱形薄片质量为 该物体的质量为 面密度≈ 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束 方法1. 投影法 (“先一后二” ) 该物体的质量为 细长柱体微元的质量为 微元线密度≈ 记作 先一 后二 为XY-型 若 记作 则 记作 三重积分的计算方法之一是用先一后二的方法最终 将它转化为三次积分进行计算. 结论 为XY-型 为YZ-型 为XZ-型 注 (1)用先一后二法计算三重积分其关键是 “顶是定积分的上下限” “围是二重积分的积分区域”. (2)若 不是XY-型或YZ-型或XZ-型则需要将其分割. 将围和顶表达出来” “ 最终将三重积分转化三次积分 (3) 对称性 设 关于XOY面对称,设上半面部分为 若 即函数关于Z是偶函数,则 若 即函数关于Z是奇函数,则 (3) 对称性 设 关于XOZ面对称,设右半面部分为 若 即函数关于Y是偶函数,则 若 即函数关于Y是奇函数,则 (3) 对称性 设 关于YOZ面对称,设前半面部分为 若 即函数关于X是偶函数,则 若 即函数关于X是奇函数,则 x 0 z y a b c d z=g z=e N M P ? =[a ,b ; c ,d ; e ,g] I = 积分区域是长方体 . . ? D 同理，也有其它 积分顺序 1. 计算三重积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 方法1. 投影法 (“先一后二” ) x 0 z y z2(x,y) ?为图示曲顶柱体 I = P N M . . 积分区域是曲顶柱体 ? D z1(x,y) 2.计算三重积