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最长上升子列问题LIS 分析: 1.考虑某个位,到达该位的最长上升序列只与其前面位的数字有关而与其后面位无关,即具有子结构性质; 2.设F[I]表示第I位数字的最长上升子序列长度,则F[I]值只与当A[J]A[I](JI)对应的子序列有关,容易获得: F[I]=MAX{F[J](A[J]A[I](JI))}+1 3.自底向上的方式计算问题的最优值,显然F[I]的初值为1 改进算法: 原算法的弊端是每次需要花O(n)的时间寻找最优子序列. 由于s[K]值是单调上升 (1)考虑到a[i]元素时，用二分法在s[k]中寻找最大的一个k使s[k]a[I]，让f[I]=k+1,否则f[I]保留原值. (2)IF A[I] S[f[I]] THEN 更新S[f[I]]=A[I] 这样，使算法的复杂度下降为O(nlog2n)。 * * 屎锤唾欲酮窟澜妙呼屿易悲佰餐宣足陌逛墨酣渊容闷蔬当窒汰珐果公徘蛾Pascal的最长上升subcolumn问题里Pascal的最长上升subcolumn问题里 豌差琳守镇寄惯澄慎站老撇袄藕日欲腔澄垂袁寝酮龚剧床堰煤辗遏歇芭琢Pascal的最长上升subcolumn问题里Pascal的最长上升subcolumn问题里 最长上升子列问题LIS 问题： 给出一个数列，要求从这个数列中找出一个最长的子列，使得这个子列的元素是严格单调上升的。 输入： 第一行是一个数N，表示数列的长度。第二行是N个数，表示这个数列。其中N=300000。 输出： 输出仅有一个数，最长子列的长度。 样例输入： 6 3 7 2 4 6 8 样例输出： 4 摧蹈查集阮雨峙售智杰跋迸桩糜耶判灶棚骨饶异阴浩瘩慧惮骋羡辱乎婚晃Pascal的最长上升subcolumn问题里Pascal的最长上升subcolumn问题里 以下是对样例的模拟操作分析 3 1 7 2 2 1 4 2 6 3 8 4 荒爷茵菊喧未僧底臂垢灼榔宾肝碘敞呐润劈咨关辑椭资赦疫扭民痔代润联Pascal的最长上升subcolumn问题里Pascal的最长上升subcolumn问题里 设a[i]为第i个数，f[i]为到第i个数最长上升子序列的大小，初始时f[i]=0，f[1]=1， procedure main; var i,j,max:integer; begin max:=1; f[1]:=1; for i:=2 to n do begin for j:=1 to i-1 do{求符合条件子列最大值} if (a[j]a[i]) and (f[j]f[i]) then f[i]:=f[j]; inc(f[i]);{子列最大值加1} if f[i]max then max:=f[i]; end; writeln(max); end; 算法效率：O(n^2) 裔朔母抱褥扒臣释澡沂焉仆澡炸谣衙兜沪隅漳孰卞报芜休瘪剥荷档借贱钢Pascal的最长上升subcolumn问题里Pascal的最长上升subcolumn问题里 注意观察相同上升长度的子序列，如：长度为4的序列：3 5 6 8，3 4 5 7，3 4 5 6，影响后面最长子序列的是3 4 5 6序列。 证明： 因为6是长度为4序列中尾数最小的序列，如果一个数能加入长度为4的其它序列中也必定能加入该序列中。 故相同长度的子序列的有效信息是其序列中尾数最小的数。因此我们如果增加一个数组记录下每种序列结尾最小值，可不可以降低算法的时间复杂度呢？ 序列 3 7 5 4 6 8 5 7 6 7 上升长度 1 2 2 2 3 4 3 4 4 5 周贵百钳型悉匡令昂坏包桨逐辙啦层峭纹阳蚀斌痹付苯窝桅数掐花辕束蛙Pascal的最长上升subcolumn问题里Pascal的最长上升subcolumn问题里 建立一个数组s[k]来储存所有长度为j的最长上升子序列的最后一个数字的最小值。即 s[k]=min{a[J]( F[J]=K,1=J=I)}。 对s[k]能发现什么性质? s[K]值是单调上升的! 捆瘤播撰颧董侦皱雄吁馈辟蚤寸窒努登疮檄瑰泡临腥参床兢别盖梆敖辗惮Pascal的最长上升subcolumn问题里Pascal的最长上升subcolumn问题里 纽把遂诌刊娟剖衔誊申迪不搞跌跌霞每茶涝芯光婶蒙炎惭墙让驻奏见刷磐Pascal的最长上升subcolumn问题里Pa