线性代数试卷及答案.doc

《 线性代数A 》试题（A 卷） 试卷类别：闭卷 考试时间：120分钟 考试科目：线性代数 考试时间： 学号： 姓名： 题号 一 二 三 四 五 六 七 总 分 得分 阅卷人 单项选择题（每小题3分，共30分） 1．设经过初等行变换变为，则（ B ）.(下面的分别表示矩阵的秩)。 ； ； ； 无法判定与之间的关系。 2．设为阶方阵且，则（ C ）。 中有一行元素全为零； 有两行（列）元素对应成比例； 中必有一行为其余行的线性组合； 的任一行为其余行的线性组合。 3. 设是阶矩阵(), ,则下列结论一定正确的是: ( D ) 4．下列不是维向量组线性无关的充分必要条件是（ A ） 存在一组不全为零的数使得； 不存在一组不全为零的数使得 的秩等于； 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示 5．设阶矩阵，若矩阵的秩为，则必为（ ）。 1； ； ； . 6．四阶行列式的值等于（ ）。 ； ； ； . 7．设为四阶矩阵且，则的伴随矩阵的行列式为（ C ）。 ； ； ； 8．设为阶矩阵满足，为阶单位矩阵,则（　 C　） ； 　；　　 ；　　 　 9．设，是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是（ C ）。 与的秩相同； 与的特征值相同； 与的特征矩阵相同； 与的行列式相同； 10．设为阶矩阵,则以为特征值是的（ D）。 充分非必要条件； 必要非充分条件； 既非充分又非必要条件； 充分必要条件； 二．填空题（每小题3分，共18分） 1．计算行列式。 2. _______________________。 3．二次型对应的对称矩阵为 。 4．已知，，是欧氏空间的一组标准正交基，则向量在这组基下的坐标为 。 5．已知矩阵的特征值为则___________。 6．设均为3维列向量，记矩阵， 。如果，则 。 三．(8分) , 求。 四．（10分）设向量组，，，，。试求它的秩及一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示。 五．（12分）讨论线性方程组解的情况，并在有无穷多解时求其解。 六．（14分）设，（1）、求出的所有特征值和特征向量；（2）、求正交矩阵，使得为对角矩阵。 七．（8分）对任意的矩阵,证明： (1) 为对称矩阵, 为反对称矩阵； (2) 可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。 《线性代数A》参考答案（A卷） 一、单项选择题（每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C D A B D C C C D 二、填空题（每小题3分，共18分） 1、 256； 2、 ； 3、； 4、 ； 5、 4； 6、 2 。 三． 解：因为矩阵A的行列式不为零,则A可逆,因此.为了求,可利用下列初等行变换的方法： ―――――（6分） 所以.―――――（8分） 四．解：对向量组作如下的初等行变换可得： ――――（5分） 从而的一个极大线性无关组为，故秩＝2（8分） 且，，――――（10分） 五．解：对方程组的增广矩阵进行如下初等行变换： 当即系数矩阵与增广矩阵的秩均为3,此时方程组有唯一解.――――（5分） 当系数矩阵的秩为1,增广矩阵的秩为2,此时方程组无解.――――（6分） 当此时方程组有无穷多组解. 方程组的增广矩阵进行初等行变换可化为 故原方程组与下列方程组同解: 令可得上述非齐次线性方程组的一个特解; 它对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个元素,令可得 为该齐次线性方程组的一个解,它构成该齐次线性方程组的基础解系. 此时原方程组的通解为――――（12分） 六．解：（1）由于的特征多项式 故的特征值为（二重特征值），。――――（3分） 当时，由，即：得基础解系为，故属于特征值的所有特征向量为, 不全为零的任意常数。――――（6分） 当时，由，即：得基础解系为，故属于特征值的所有特征向量为, 为非零的任意常数。 ------(8分) (2)将正交化可得：。 再将其单位化得： 将单位化得：。――――（12分） 则是的一组单位正交的特征向量，令 则是一个正交矩阵，且。――――（14分） 七．证明：(1) 因为, 因此为对称矩