线性代数应用举例.ppt

线性代数应用实例 取自《线性代数机算与应用指导（MATLAB）版》 2010.12 A=[4,-1,-1,0; -1,4,0,-1; -1,0,4,-1; 0,-1,-1,4]; b=[30; 50; 60; 80]; U=rref([A,b]) A=[1,-1,0,0;0,1,-1,0;0,0,1,-1;-1,0,0,1]; b=[-100;72;37;-9]; U=rref([A,b]) 把上述模型扩展到多个十字路，乃至整个城市，就构成高阶的线性代数方程组。例如下面的 6 节点交通流图，它就要由 6 个方程和 7 个变量来描述。用行最简型方法可以知道，它的解将包括两个自由变量。其物理意义类推。 由向量 和 所构成的平行四 边形的面积为行列式 的绝对值。 计算的MATLAB语句为： S=abs(a1*b2-a2*b1) 如果给出的是三角形三个顶点坐标[a1,b1]， [a2,b2]， [a3,b3]，求该三角形面积，则有： MATLAB写成S=abs(det([a2-a1,b2-b1; a3-a1,b3-b1])) 多边形可以划分为多个三角形来计算。 先对三角形面积计算构成一个函数程序； 这个子程序名为：cal_area3(A,B,C) A,B,C为三个顶点的二维坐标向量 凸多边形面积只需多次调用这个函数程序； 例如五边形ABCDE，可由 S5= cal_area3(A,B,C)+ cal_area3(A,C,D)+ cal_area3(A,D,E) 求得。也可由多边形面积子程序cal_arean(A)计算。 （1）某医院要购买这 7 种特效药，但药厂的第 3号和第 6 号特效药已经卖完，请问能否用其它特效药配制出这两种脱销的药品。 分析：即 3, 6 向量与其他向量是否线性相关 （2）现在该医院想用这 7 种中草药配制三种新的特效药，下表为新药所需的成分质量 (单位: 克) 。请问如何配制。 分析：这是新药向量与原来药向量是否线性相关的问 题。 u1=[10;12;5;7;0;25;9;6;8]; u2=[2;0;3;9;1;5;4;5;2]; u3=[14;12;11;25;2;35;17;16;12]; u4=[12;25;0;5;25;5;25;10;0]; u5=[20;35;5;15;5;35;2;10;0]; u6=[38;60;14;47;33;55;39;35;6]; u7=[100;55;0;35;6;50;25;10;20]; U1=[u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7] [V1,r]=rref(U1) 假设一个城市的总人口数是固定不变，但人口的分布 情况变化如下：每年都有 5％ 的市区居民搬到郊区； 而有 15％ 的郊区居民搬到市区。若开始有 700000 人 口居住在市区，300000 人口居住在郊区。请分析： （1）10 年后市区和郊区的人口各是多少？ （2）30 年后、50 年后市区和郊区的人口各是多少？ （3）分析（2）中数据相似的原因。 % 分析 n 年后城市人口分布 clear A=[0.95,0.15; 0.05,0.85]; X0=[700000; 300000]; [P,lambda]=eig(A); syms n % 定义符号变量 n Xn=P*lamda.^n*inv(P)*X0 用平面坐标系中的一个闭合图形来描述刚体，用一个矩 阵 X 来表示它。X 的一列表示刚体一个顶点的坐标。为 了使图形闭合，X 的最后一列和第一列相同；为了实现 刚体的平移运算，给矩阵 X 添加元素值都为 1 的一行， 使 X 为 3×n 矩阵。 若有矩阵： 则可以证明，矩阵 Y1 是刚体 X 沿 x 轴正方向平移 c1， 沿 y 轴正方向平移 c2 后的结果；矩阵 Y2 是刚体 X 以坐 标原点为中心逆时针转动 t 弧度的结果。 例 8 刚体的平面运动 * 例 1 平板稳态温度的计算 为了计算平板形导热体的温度分布，将平板划分为许 多方格，每一个节点上的稳态温度将等于其周围四个 节点温度的平均值。由此可得出阶数与节点数相同的 线性方程组，方程的解将取决于平板的边界条件。 这个方法可以用来计算飞行器的蒙皮温度等。 T1 T2 T3 T4 平板温度计算的模型 整理为 MATLAB 程序 运行结果为： U = 1.0000 0 0 0 21.2500 0 1.0000 0 0