清华大学算法课13.ppt

算法与数据结构Algorithms and Data Structures 第十三章 算法分析与设计技术Algorithm Analysis and Design Techniques  13.1 递归算法的分析 13.2 递归式求解 13.3 大递归式的一般解 13.4 分而治之法 13.5 动态规划法 13.6 贪心法 13.7 有哪些信誉好的足球投注网站算法 13.1 递归算法的分析 考虑一个归并排序算法： List mergesort(List L,int n) { if (n==1) return L; break L into 2 halves, L1 and L2, each of length n/2; return merge(mergesort(l1,n/2), mergesort(l2,n/2)); } // 设 T(n)是最坏情况下的时间复杂度。 显然： T(n)=1 if n=1; T(n)=2T(n/2)+cn if n1 我们前面已做过很多递归算法的分析，给出了相应的递归式； 例如： Hanoi塔： T(0)=0 T(n)=2T(n-1)+1 折半查找： T(0)=0; T(1)=1; T(n)=T(n/2)+1; 最复杂的是快速排序。 13.2 递归式求解 有三种方法： (1). 猜一个解f(n)，代入递归式，对n归纳证明T(n)=f(n)，同时确定F(n)中的不定系数，使对所有的n有T(n)=f(n)。 (2). 展开递归式，直到式子的右边的T(m)均为初试递归式（如T(0), T(1)）. (3). 一般求法。 1 猜解： T(n)=1 if n=1; T(n)=2T(n/2)+cn if n1 设T(n)=a.n.logn+b 归纳基础：当 n=1时 b=1 设对所有的kn 有 a.k.logk+b=T(k) 当k=n时： T(n)=2T(n/2)+cn 2. 展开递归式 13.3 大递归式的一般解 考虑递归算法： T(1)=1 把大小为n的问题，分解为a个大小为n/b的子问题， 划分问题和合并子问题的解所做工作量是d(n). 则： T(1)=1 T(n)=aT(n/b)+d(n) d(n)成为驱动函数 对上一个递归式， a=b=2, d(n)=cn 展开递归式： 考虑3种情况下的特解： 若： ad(b) 2. 若： ad(b), 3 若： a=d(b)， 例1： T(1)=1 T(n)=4T(n/2)+n T(n)=4T(n/2)+n2 T(n)=4T(n/4)+n3 由于三个式中：a=4, b=2 ,它们的通解都是n2; d(n)=n, 所以d(b)=2, 因a=4d(b) (2) d(n)= n2, 所以d(b)=4, 因a=4=d(b) (3) T(n)=4T(n/4)+n3 d(n)= n3, 所以d(b)=8, 因a=4d(b) 特解是： O(d(n))= n3 以上讨论的是d(n)是n的积的形式，下面考虑非积形式。 例2： T(1)=1 T(n)=3T(n/2)+2n1.5 2n1.5不是n的积的形式，但n1.5是，令U(n)=T(n)/2 U(1)=1/2 U(n)=3U(n/2)+n1.5 如果U（1）=1， 则通解是：nlog3= n1.59 因U(1)=1/2，所以通解是： n1.59 /2 a=3, b=2, d(n)= n1.5 ，d(b)= 21.5=2.82 , ad(b) 所以特解是： n1.59 所以 T(n)=O(n1.59) 例3： T(1)=1 T(n)=2T(n/2)+nlogn 显然通解是 n。 a=b=2, d(n)=nlogn 不是n的积。 特解： 13.4 分而治之法 分而治之就是将大的问题分解小的子问题分别解决，最常用的办法是递归算法。在前面我们已设计了许多递归算法，诸如：Hanoi塔，快速排序，归并排序，二叉树遍历，dfs，等等。 下面在看几个例子，它们比较特殊 例4：两个n位正整数相乘，这两个数很大，大到计算机内部无法表示。 为简化问题，设n是2的幂。 XY=AC10n+(AD+BC)10n/2+BD 算法分析：位乘次数 T(1)=1 T(n)=4T(n/2)+cn T(n)=O(n2) 改进： XY=AC10n+[