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正多边形与圆渐变方法探讨 谷川 同济大学测量与国土信息工程系，上海（200092 ） E-mail ：guchuanhaha@163.com 摘 要：针对正多变形渐变为圆以及圆渐变为正多边形的算法，由于两个过程是一个逆变换， 仅对正多边形渐变为圆的算法进行了研究，提出了两种算法，分别是： ⒈加边法，即通过 增加正多边形边数的方法逐渐逼近于圆，例如，每次将正多边形的边数增加一倍，当正多边 形的边数足够多时，可以认为其是一个圆；⒉倒角法，逐渐增加正多边的倒角半径，当倒 角半径趋近等于正多边形的内接圆半径时，得到的即为一个圆，这个圆是该正多边形的内接 圆。工程实践证明，本文提出的算法是可行的。 关键词：正多边形，圆形，渐变，加边法，倒角法 1. 概述 地面交通工具风洞试验中心流道的扩散段是由两个渐变过程组成的，分别是从正方形渐 变为圆以及由圆渐变为正方形。这中间涉及到正多边形与圆形之间渐变的算法问题，本文对 此进行了研究，提出了两种渐变方法。由于从正多边形渐变为圆和由圆渐变为正多边形是一 个逆变换，只需研究从正多边形渐变为圆即可，圆渐变为正多边形时只需将该过程的顺序逆 转。 本文研究了从正多边形渐变为圆的算法，提出了两种算法，并且以正三角形以及正方形 这两种比较典型的图形渐变为圆的过程为例，说明了本文提出的两种渐变方法的过程和有效 性。工程实践证明，本文提出的简便方法是行之有效的。 2. 正多边形通过加边法渐变为圆 根据计算机图形学理论，对于一个正 n 边形，当 n 趋近于正无穷大时，可以认为该正多 边形是一个圆[1] 。在实际生产过程中，n 趋近于无穷大是不可能的。可以采取的办法是逐渐 增加 n 的大小，当该正多边形与圆形的近似程度在可以允许的范围内，就可以认为该正多边 形为一个圆。 边数增加的方法有很多，可以每次增加一条边，也可以每次增加两条边以保持边数是奇 数或者是偶数，也可以是每次将边数增加一倍，等等。 图 ⒈所示的是一个正方形通过边数加倍的方法渐变为一个圆的过程示意图： 图 1 正方形渐通过边数加倍渐变为圆 Fig.1 Transition from a square to a circle through adding borders 图 ⒉所示的是一个正三角形通过边数加倍的方法渐变为一个圆的过程示意图： 图2 等边三角形通过边数加倍渐变为圆 Fig.2 Transition from an equilateral triangle to a circle through adding borders -1- 假定，正 n 边形摆放位置左右对称，中心坐标为(x , y )，外切圆半径为R 。若位置 o o C 最高处为一条边，则正 n 边形各顶点的坐标可以用公式（1-1）进行计算；若位置最高处为 一个顶点，则正 n 变形各顶点的坐标可以用公式（1-2）进行计算。 2π π x x R i + ⋅cos( ⋅ + ) i o C n n