曲线的凹凸性与拐点.pptVIP

观察下列两图的特点： 3、小结 * * §2.4.3 曲线的凹凸性与拐点 第四节 导数的应用 一、曲线的凹凸性与拐点 １.曲线凹凸性的定义 定义2.6 若在某区间(a,b)内曲线段总位于其上任意一点处切线的上方，则称该曲线段在(a,b)内是凹的, (a,b) 为曲线的凹区间；若曲线段总位于其上任一点处切线的下方，则称该曲线段在(a,b)内是凸的,(a,b)为曲线的凸区间. 在我们不知道曲线形状的时候,用曲线凹凸性的定义判断曲线的凹凸性显然是不可能的,如何方便地判断曲线的凹凸性呢? 2.曲线凹凸性的判定 上图可见： 切线斜率k↗ 凹曲线 上图可见： 凸曲线 切线斜率k↘ 定理2.12 设函数y = f (x)在区间 (a,b)内的二阶导数 存在 (1)若在(a,b)内 f ?(x) 0 ,则曲线 y = f (x) 在区间(a,b) 内是凹的； (2)若在(a,b)内 f ?(x) 0 ,则曲线 y = f (x)在区间(a,b) 内是凸的。 例1 解 注意到： 注意：拐点一定在曲线上。 怎样判断曲线的拐点呢？ 定义2.7 连续曲线y = f (x)上凹弧与凸弧的分界点 称为曲线的拐点. 函数凹凸性 凹凸区间 凹凸区间分界点（拐点） 拐点 凹凸性分界点 切线斜率k↗ 凸曲线 切线斜率k↘ 凹曲线 前已述及: 所以: 凸曲线 凹曲线 但反向不 一定成立 据以上分析总结出曲线凹凸区间与拐点的判定步骤: (1)求函数y=f(x)的定义域; (2)求出f“(x)，找出定义域内使f”(x)=0的点和f“ (x)不存在 的点； (3)用上述各点按照从小到大的顺序依次将定义域分成若干 个小区间，考察每个小区间上f“ (x)的符号；从而判断曲 线在各个子区间上的凹凸性,最后确定拐点. 例2 求曲线 的凹凸区间及拐点． (2) (3) 列表考察函数的凹凸区间及拐点: 解 (1) 函数的定义域为 凹 拐点 （2，–17） 凸 拐点 (０，–５) 凹 f (x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) (2, +∞) 2 (0,2) 0 (-∞,0) x 例3 解 因为拐点一定在曲线上，所以 从而有 即 (1)式和(2)式联立解得: *