曲线拟合的最小二乘法.pptVIP

§2 什么是最小二乘法 曲线拟合不要求近似曲线严格过所有的数据点，但使求得的逼近函数与已知函数从总体上来说其偏差按某种方法度量达到总体上尽可能地小。 本章主要讨论线性最小二乘问题，基本提法是： §3 最小二乘法的求法 三、特例：（代数多项式拟合） 解 ： 将已知数据点描绘在坐标纸上，可以看出，拟合曲线y=φ(t)应具有下列特点： （1）曲线随着t的增加而上升，但上升速度由快到慢。 （2）当t=0，反应尚未开始，即y=0；当t→∞时，y趋于某一常数。故曲线应通过原点（或者当t→0时以原点为极限点），且有一水平渐近线。 具有上述特点的曲线很多。选用不同的数学模型，可以获得不同的拟合曲线与经验式。 下面提供两种方案。 方案1 设想y=φ (t)是双曲线型的，并且具有下面的形式 方案2 设想y= (t)具有指数形式 并记A=lna,B=b,则上式就是 * 曲线拟合的最小二乘法 2 什么是最小二乘法 3 最小二乘法的求法 1 曲线拟合的问题： 如果已知函数f(x)在若干点xi(i=1,2,…,n)处的值yi,便可根据插值原理来建立插值多项式作为f(x)的近似。 但在科学实验和生产实践中，往往节点上的函数值是由实验或观测得到的数据，这些函数值不可避免地带有测量误差，如果要求所得的近似函数曲线精确无误地通过所有的点(xi,yi),就会使曲线保留着一切测试误差。 此外,由实验或观测提供的数据个数往往很多,如果用插值法,势必得到次数较高的插值多项式，这样计算起来很烦琐，缺乏实用价值。 希望从给定的数据(xi,yi)出发,在某个函数类中寻求一个近似函数φ(x), 来拟合这组数据。要求所得的近似曲线能最好的反映数据的基本趋势，如图所示。 一、问题的提法 二、目的 1 曲线拟合的问题 曲线拟合示意图 也就是求一条曲线,使数据点均在离此曲线的上方或下方不远处, 它既能反映数据的总体分布,又不至于出现局部较大的波动, 能反映被逼近函数的特性,使求得的逼近函数与已知函数从总体上来说其偏差按某种方法度量达到最小. 三、方法 曲线拟合方法 四、曲线拟合的问题 设函数y=f(x)在m个互异点的观测数据为 求一个简单的近似函数φ(x)，使之“最好”地逼近f(x),而不必满足插值原则。这时没必要取φ(xi) = yi, 而要使 ?i=φ (xi)?yi 总体上尽可能地小。这种构造近似函数 的方法称为曲线拟合,称函数y=φ(x)为经验公式或拟合曲线。 若令 并称 为残向量（残差）。 用 去拟合 的好坏问题变成残量?i的大小问题 一、基本概念：残差 常见做法： 使 最小 较复杂 使 最小 使 最小 “使 ?i=φ (xi) ? yi 尽可能地小”有不同的准则 最小二乘原则 二、残差的选取方法（原则） 三、最小二乘原则（方法） 1、定义：使“偏差平方和最小”的原则称为最小二乘原则。 2、定义:按照最小二乘原则选取拟合曲线的方法,称为最小二乘法。 在某个函数类Φ={φ0(x),φ1(x),…φn(x)}来寻求一个函数φ(x) 。 是待定常数， 使其满足 3、线性最小二乘问题的提法 式中， 是函数类Φ中任一函数。 3.2.5 满足上述关系式的函数 称为上述最小二乘问题 的最小二乘解。 问题转化为求待定系数 在实际问题中如何选择基函数是一个复杂的问题，一般要根据问题本身的性质来决定。那么通常可取的基函数有多项式、三角函数、指数函数、样条函数等。 如何求解最小二乘问题？ 1、确定函数类（原则:根据实际问题与所给数据点的变化规律）; 2、求解方程： 有多元函数极值必要条件有 对任意函数h(x)和g(x)引入记号 一、求解的基本原理：极小值原理 二、定理（最小二乘解的存在唯一性定理） 如取 就得到代数多项式 例6.7.1（P149） 例6.7.2（P150） 四、应用举例 说明最小二乘法解决实际问题的具体步骤和某些技巧。 例1某种铝合金的含铝量为x(％),其熔解温度为y（0C），由实验测得x与y地数据如下表左边的三列。试用最小二乘法建立x与y的经验公式。 解：1、将数据进行描图观察； 2、确定拟合曲线的形式。这里根据所描图形分析，拟合曲线接近于一直线，故可用线性函数进行拟合这组数据； 3、建立法方程组； 4、解法方程组； 5、检验拟合值与实测值之间的偏