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返回 后页 前页 §4 条 件 极 值 条件极值问题的特点是: 极值点的有哪些信誉好的足球投注网站范围要受到各自不同条件的限制. 解决这类极值问题的方法叫做拉格朗日乘数法. 三、应用举例 返回 一、问题引入 二、拉格朗日乘数法 条件极值问题的实际应用非常广泛,而且还能用来证明或建立不等式. 一、问 题 引 入 很多极值问题, 目标函数的自变量不能在其定义 域上自由变化, 而是要受到某些条件的约束. 例1 要设计一个容积为 V 的长方形无盖水箱, 试 问长、宽、高各等于多少时, 可使得表面积达到 最小? 若设长、宽、高各等于 x, y, z, 则 目标函数: 约束条件: 例2 设曲线 求此曲线上 的点到原点距离之最大、最小值. 对此问题有 目标函数: 约束条件: 还可举出很多这种带有约束条件的极值问题. 定义 设目标函数为 约束条件为如下一组方程: 为简便起见, 记 并设 若存在 则称 是 在约束条件 之下的极小值 (或最小值) , 称 是相应的极小值点 (或最小值 点). 类似地又可定义条件极大 (或最大) 值. 二、拉格朗日乘数法 拉格朗日乘数法探源 先从 n = 2, m =1 的最简 情形说起, 即设目标函数与约束条件分别为 若由 确定了隐函数 则使得目 标函数成为一元函数 再由 求出稳定点 在此点处满足 这表示 的等值线 18－12). 由此推知: 存在比例常数 满足 这又表示: 对于函数 图 18－12 与曲线 在 有公共切线(见图 点 在点 处恰好满足: 也就是说, (2) 式是函数 在其极值点处所 满足的必要条件. 由此产生了一个重要思想: 通过引入辅助函数 把条件极值问题 (1) 转化成为关于这个辅助函数的普通极值问题. (B) 拉格朗日乘数法 对于前面定义中所设的一般 目标函数和约束条件组, 应引入辅助函数 称此函数为拉格朗日函数, 其中 称 为拉格朗日乘数. 定理 18.6 设上述条件极值问题中的函数 在区域 D上有连续一阶偏导数. 若 D 的内点 是该条件极值问 题的极值点, 且 则存在 m 个常数 使得 个方程的解: 说明 对于 n = 2, m = 1 的情形, 已在前面作了说 明; 对一般情形的证明, 将放到二十三章的定理 23.19 中去进行. 为拉格朗日函数 (3) 的稳定点, 即它是如下 三、应 用 举 例 定理 18.6 指出的方法称为拉格朗日乘数法. 下面 用这种方法先来求解本节开头给出的两个例题. 例1 解 此例以往的解法是从条件式解出显函数, 例如 代入目标函数后, 转而求解 的普通极值问题. 可是这样做并不总是方便的, 而 且往往无法将条件式作显化处理, 更不用说