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数学实际应用问题中的三种类型及其解法 制作：云南省昌宁第一中学 段 怀 秦 2002.1.26 数学实际应用问题中的三种类型及其解法 一、复习回顾 ⑴读题理解：读懂题意、理解实际背景，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系（目标与条件的关系）； ⑵抽象建模：把问题的主要关系近似化、形式化，抽象、归纳成数学问题（数学模型）； ⑶求解模型：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解（解出模型的数学结果）； ⑷评价作答：对结果进行验证或评估，对错误加以调节、修正，最后对实际问题作出回答（解释或预测）. 二、学习新课 体问题选择类(Ⅰ)或(Ⅱ)的方法. （二）例与练 应怎样计划才能使每亩地都能种上作物（水稻必种），所有劳力都有工作且作物预计总产值达最高？（每个劳力只种一种作物） 题中显示“产值最高”的语句，属类型(Ⅰ)，应从构造有关产值的函数关系入手. 例2．某市1998年底人口为20万，人均住房面积为8m2，计划2002年底人均住房面积达10m2.如果该市每年人口平均增长率控制在1%，要实现上述计划，这个城市每年平均至少要新增住房面积多少万m2（结果以万m2为单位，保留两位小数）. 故该城市每年至少要新增住房面积12.03 万m2，才可达人均住房面积10 m2的目标. 例3．某铁道机车每小时运行所需的成本由两部分组成，固定部分为a元，变动部分与运行速度V(千米/小时)的平方成正比. 比例系数为K(K0). 如果机车匀速从甲站开往乙站，为使成本最省,应以怎样的速度运行？ 故机车以速度 练习： 1．分析：题中显示“利润最大”的语句，属类型(Ⅰ).应从构造有关利润的函数关系入手.（利润=售额-成本） 答：售价为95元时获利最大，其最大值为 4500元. 2．分析：题中显示“利率”的语句，属类型(Ⅱ)，应从构造指数式方程或不等式入手. 注：本题也可从两方面去计算本利.即整存整取a万元，五年本利有M万元，零存整取x万元，四年本利有N万元，若五年内还清，则有关系： 3．分析：题目结构属类型(Ⅲ).题中虽显示“让利”等语句，但最终还是以“利润大”为目的，故应选择类型(Ⅰ)的处理方法. 解决此题的关键是弄清让利、纯利等的含义，弄清原价、进价、新价之间的关系，特别是要求出新价与原价之间的关系式，还要注意函数的定义域. 三、归纳小结 四、布置作业 求这种商品的日销售额的最大值? 3.某工厂生产某产品x 吨所需费用P元，而卖出x 吨的价格为每吨Q元，已知P=1000+5x2+(X2/10)，Q= a+(x/b),若生产出的产品能全部卖掉，且当产量为10吨时利润最大，此时每吨价格为40元，求实数a、b的值. 五、板书设计 应用问题中的三种类型和解题思路  类型(Ⅰ)：有关“利润最大、产值最高、造价最低”等问题.  处理方法：主要是函数与方程的思想方法及函数与不等式的思想方法. 类型(Ⅱ)：有关“利率、增长率及翻番”等问题. 处理方法：主要是构造指数式方程或指数式不等式. 类型(Ⅲ)：定义型问题，即给定事物发展变化过程中所遵从的某些特定关系. 处理方法：除遵从题中规定关系外应视具体问题选择类(Ⅰ)或(Ⅱ)的方法. 若a0，b0，则 , * * 教学目标： 难点：灵活运用所学知识正确分析和解决实际问题。 1.通过对实际应用问题中的三种类型的讨论和解法探讨，使学生明确和掌握解答实际应用问题的思想方法，进一步巩固函数等有关的数学知识和方法。 2.通过学习，能运用所学知识解决实际问题，提高分析问题、解决问题的能力及综合运用知识的能力。 3.培养学生理论联系实际，自觉运用所学知识解决实际问题的意识。 重点：实际应用问题中的三种类型及其解法。 解应用问题的一般思路和方法步骤： 三种类型及其解法 数学实际应用问题中的 读题--建模--求解--评价 (一) 应用问题中的三种类型、理论依据和解题思路 类型(Ⅰ)： 有关“利润最大、产值最高、造价 最低”等问题. 处理方法：主要是函数与方程的思想方法及函数与不等式的思想方法. 类型(Ⅱ)： 其理论依据有：数列、指数函数、方程、不等式及近似计算等. 有关“利率、增长率及翻番”等问题. 处理方法：主要是构造指数式方程或指数式不等式. 其理论依据是：一次函数、二次函数、分式函数、不等式