数学分析函数的连续性.pptVIP

§2.7 连续函数 一、函数连续的定义 二、连续函数的性质 三、初等函数的连续性 四、函数的间断点 五、单调函数的间断点 * * 2008／10／30 4. 单侧连续 定理 例1 解 右连续但不左连续 , 例2 解 5. 连续函数与连续区间 在开区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数, 或者说函数在该区间上连续. 常函数处处连续. 解 证明：⑴ ⑵ ⑶ 例如, 定理1 (四则运算) 定理2 （反函数）严格单调的连续函数必有严格 单调的连续反函数. 例如, 反三角函数在其定义域内皆连续. 定理3 （复合函数） 例如, 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的. ★ ★ ★ 定理5 基本初等函数在定义域内是连续的. ★ ( 均在其定义域内连续 ) 定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连 续的. 定义区间是指包含在定义域内的区间. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续; 例如, 这些孤立点的邻域内没有定义. 在0点的邻域内没有定义. 注意　 1.跳跃间断点 例7 解 2.可去间断点 例8 如例8中, 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点 注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点. 3.第二类间断点 例9 解 例10 解 注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点. 狄利克雷函数 在定义域R内每一点处都间断,且都是第二 类间断点. ★ 在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处处连续. ★ 判断下列间断点类型: 仅在x=0处连续, 其余各点处处间断. ★ 例11. 例12.