定积分应用中一个值得注意的问题.pdfVIP

Vol6 ,No ,4 高等数学研究 Dec . ,2003 　　　　　　　　　　STUDIES IN COLLECE MATHEMATICS 11 教学随议 定积分应用中一个值得注意的问题 ( ) 王浚岭 　三峡大学理学院数学系, 湖北宜昌　443002 摘 　要 　一些通用教材在介绍由参数方程表示的封闭曲线围成的区域面积计算时 , 依据的公式往往是只适用 于广义曲边梯形, 并且 y = f ( x) 是 x 的单值函数的情形, 从而容易出现错误 在用极坐标方程计算旋转体体积时也 有类似的情形 。 关键词 　定积分 　面积 　体积 　元素法 　教学改革 　　中图分类号 　O1722 ; G6420 目前一些通用教材[ 1 - 4] 的“定积分应用”主要内容在几何学和物理学上的应用, 全国攻读硕士 学位研究生数学入学考试多次考察定积分的应用[ 5] 。本文讨论定积分在几何学上的应用中一个值 得注意的问题, 它在教与学两个方面都容易出现错误 。本文分析产生错误的原因及改正的方法, 并 对这一部分的教学提出建议 。 ( ) 首先讨论平面区域的面积 。教材[ 3] 第 368 页 教材[ 1 - 2] 也给出了类似公式 指出:在区间 ( ) ( ) [ a , b] 上的连续曲线 y = f x 有的部分为正, 有的部分为负 、x 轴及二直线x = a , x = b 所围成的 ( ) 平面区域 不妨称为广义曲边梯形 的面积 b ( ) ( ) A = | f x | dx 1 ∫ a 　　关于参数方程表示的曲线所围成的区域的面积, 教材[ 1] 没有给出计算公式, 仅通过第 270 页 例 3 , 给出了计算方法, 即应用直角坐标系曲边梯形的面积公式, 根据曲线的参数方程, 应用定积分 的换元法进行计算 。教材[2 - 3] 利用这个方法, 给出了相同的计算公式, 教材[ 2] 第 240 页给出的 ( ) 公式如下 教材[ 3] 第 371 页给出类似公式 : ( ) ( ) αβ αβ ( ) ( ) 设曲线 C 由参数方程 x = x t , y = y t , t ∈[ , ] 给出, 在[ , ] 上 y t 连续, x t 连续可 ( ) (